Георг Гегель - Наука логики

Но в параллелограмах с равными высотами» и основаниями лишь последняя определенность есть внешняя граница.

Высота, а не вообще параллельность, на которой основано второе главное определение фигур, их отношение, прибавляет к внешней границе еще второй принцип определения. Эвклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих равные высоты «и оснований, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченным непрерывным; в доказательстве же Кавальери, и прежде всего в доказательстве пропорциональности параллелограмов, граница есть вообще, определенность величины, кап таковая раскрывающаяся, на любой паре линий, проведенных в обеих

{358}

фигурах на одинаковом расстоянии. Эти» равные или находящиеся в одинаковом отношении к основанию линии, взятые совокупно, дают находящиеся в одинаковом отношении фигуры. Представление об агрегате линий противоречит непрерывности фигуры; но рассмотрение линий исчерпывает полностью ту определенность, о которой идет речь. Кавальери часто отвечает на могущее быть выдвинутым возражение, будто представление о неделимых приводит к тому, что мы- должны сравнивать между собою бесконечные по своей численности линии или поверхности (Qeom., Hb. И, prop. I, Schol.); on проводит правильное различие, говоря, что он сравнивает между собою не их численность, которую мы не знаем — правильнее сказать: не их численность, которая, как мы заметили выше, есть вспомогательное пустое представление, а лишь величину, т. е. количественную определенность как таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как последнее заключено в границах, то и эта его величина заключена в тех же границах; непрерывное, говорит он, есть не что иное, как сами неделимые; если бы оно было нечто, находящееся вне их, то оно не могло бы быть сравниваемо; а ведь было бы несообразно сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собою.

Как видим, Кавальери хочет провести различие между тем, что принадлежит к внешнему существованию непрерывного, и тем, в чем состоит его определенность, и что единственно и следует выделять в целях сравнения и для получения теорем о нем. Категории, которые он употребляет при этом, говоря, что непрерывное сложено из неделимых или состоит из них и т. п., разумеется, неудовлетворительны, так как при этом приходится утверждать вместе с тем созерцаемость непрерывного или, как мы сказали выше, его внешнее существование; вместо того, чтобы сказать, что «непрерывное есть не что иное, как сами неделимые», было бы правильнее и, стало быть, само по себе сразу ясно, сказать, что определенность величины непрерывного есть не что иное, как определенность величины самих неделимых. — Кавальери не придает никакого значения плохому,

{359}

выводу, что, стало быть, существуют-де большие и меньшие бесконечные, выводу, делаемому школой, из представления, что неделимые составляют непрерывное, и он определенно выражает далее (Oeom., ub. VII, praef.) уверенность в том, что он своим способом доказательства отнюдь не вынуждается представлять себе непрерывное сложенным из неделимых; непрерывные лишь следуют пропорции неделимых. Он, говорит о своем методе Кавальери, берет агрегаты неделимых но с той стороны, с какой они кажутся подпадающими под определение бесконечности, как представляющие собою бесконечное множество линий или плоскостей, а лишь постольку, поскольку они имеют некоторый определенный характер и природу ограниченности. Но чтобы устранить и этот камень преткновения, он вое же в специально для этого прибавленной седьмой книге не жалеет труда, доказать основные теоремы своей геометрии таким способом, который остается свободным от примеси бесконечности. — Этот способ сводит доказательства к вышеупомянутой обычной форме наложения фигур, т. е., как мы заметили выше, к представлению об определенности как о внешней пространственной границе.

Относительно этой формы наложения можно, прежде всего, сделать еще и то замечание, что она есть, так сказать, ребяческая помощь чувственному созерцанию. В элементарных теоремах о треугольниках представляют их два рядом, и, поскольку в каждом из них из шести частей известные три принимаются равными соответствующим трем частям другого треугольника, показывается, что такие треугольники совпадают между собою, т. е., что каждый из них имеет равными с другим также и прочие три части, так как они вследствие равенства тех трех первых частей полностью налагаются друг на друга. Формулируя это более абстрактно, можно сказать, что именно вследствие равенства каждой пары соответствующих частей двух треугольников имеется только один треугольник; в последнем три части принимаются нами за уже определенные, из чего следует определенность также и трех остальных частей.

Здесь таким образом показывается, что в трех частях опре-

{360}

деленность завершена; стало быть, для определенности как таковой три остальные части представляют собою некоторое излишество — излишество чувственного существования, т. е. созерцания непрерывности. Высказанная в такой форме качественная определенность выступает здесь в своем отличии от того, что предлежит в созерцании, от целого как некоторого непрерывного внутри себя; наложение мешает осознать это различие.

Вместе с параллельными линиями и «в параллелограмах появляется, как мы заметили, новое обстоятельство, заключающееся отчасти в равенстве одних только углов, отчасти же в том значении, которое имеет высота фигур, причем внешние границы последних, стороны параллелограмов, отличны от высоты. При этом делается явственной имеющаяся здесь двусмысленность, состоящая в вопросе о том! в какой мере в этих фигурах — кроме определенности одной стороны, основания, которое есть внешняя граница, — следует в качестве другой определенности принимать другую внешнюю границу (а именно, другую сторону параллелограмм) и в какой мере — высоту. Если даны две такие фигуры, имеющие одинаковые основания и высоты, причем одна из них прямоугольная, а другая с очень острыми углами (и, стало быть,

с очень тупыми углами на другом конце), то последняя фигура легко может показаться созерцанию большей, чем первая, поскольку созерцание берет предлежащую большую сторону как определяющую и поскольку оно согласно способу представления Кавальери сравнивает площади по некоторому множеству параллельных линий, которыми они могут быть пересечены. Согласно этому способу представления более длинная боковая сторона остроугольного параллелограма могла бы рассматриваться как возможность большего количества линий, чем то количество линий, возможность которого содержится в вертикальной стороне прямоугольника.