Георг Гегель - Наука логики

Однако, такое представление не служит возражением против метода Кавальери; ибо представляемое в этих двух параллелограмах с целью сравнения множество параллельных линий предполагает вместе с тем одинаковость их расстояний друг от друга дли от основания, ив чего следует, что

{361}

другим определяющим моментом служит высота, а не другая сторона параллелограма. Но это, далее, меняется, когда мы сравниваем между собою два параллелограма,

имеющие одинаковые основания и «высоты, но не лежащие в одной плоскости и образующие с третьей плоскостью разные углы; здесь параллельные сечения, возникающие, когда представляют себе их пересеченными третьей плоскостью, движущейся параллельно себе самой, уже не одинаково удалены одно от другого, и эти две площади неравны между собою. Кавальери тщательно обращает внимание читателя на это различие, которое он определяет как различие между transitus rectus (прямым переходом) и transitus obliquus (косвенным переходом) неделимых (как в ExerciL I п. XII и сл., — так уже и в Geometr., I, II) и этим он устраняет поверхностное недоразумение, могущее возникнуть с этой стороны. Я припоминаю, что Барроу в своем вышеупомянутом сочинении (Lect. Qeom.,??. 21), хотя также пользуется методом неделимых, но, нарушая его чистоту, соединяет его с перешедшим ог него к его ученику Ньютону и к другим современным ему математикам, в том числе к Лейбницу, допущением возможности приравнять криволинейный треугольник, как например так называемый характеристический, прямоугольному, поскольку оба бесконечно, т. е. очень малы, — я припоминаю, что Барроу приводит идущее именно в том же направлении возражение Такэ, остроумного геометра того времени, также пользовавшегося новыми методами. Указываемое последним затруднение касается также вопроса о том, какую линию, — а именно при вычислении конических и сферических поверхностей— следует принимать за основной момент определения для рассуждения, основанного на применении дискретного. Такэ возражает против метода неделимых, что при вычислении поверхности прямоугольного конуса по этому атомистическому методу тот треугольник, который получается при продольном рассечении конуса, изображается: составленным из прямых линий, параллельных основанию, перпендикулярных к оси и представляющих собою вместе с тем радиусы тех кругов, из которых состоит поверх362 ность конуса. Но если эта поверхность определяется как сумма окружностей, а эта сумма определяется из числа их радиусов, т. е. из длины оси конуса, ив его высоты, то получаемый результат противоречит найденной и доказанной Архимедом истине. В ответ на это возражение Барроу, напротив, показывает, что для определения поверхности конуса не его ось, а сторона того треугольника, который получается при продольном рассечении конуса, должна быть принимаема за ту линию, вращение которой производит эту поверхность и которая поэтому, а не ось, должна считаться определенностью величины для множества окружностей.

Подобного рода возражения или сомнения имеют свой источник единственно только в употребляемом неопределенном представлении бесконечного множества точек, из которых считается состоящей линия, или линий, из которых «считается состоящей площадь; этим представлением затушевывается существенная определенность величины линий или площадей. — Целью настоящих примечаний было вскрыть те утвердительные определения, которые при различном употреблении бесконечно-малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и освободить их от того тумана, в который их закутывает эта применяемая в чисто отрицательном смысле категория. В бесконечном ряде, как например, в архимедовом измерении круга, «бесконечность» не означает ничего другого, кроме того, что закон дальнейшего определения известен, но так называемое конечное, т. е.

арифметическое выражение, не дано, сведение дуги к прямой линии не может быть осуществлено; эта несоизмеримость есть их качественное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного вообще равным образом содержит в себе некоторое отрицательное определение, которое приводит к тому, что они выступают как несоизмеримые, и влечет за собою бесконечное в том смысле, что то непрерывное, которое должно быть принимаемо за дискретное, не должно уже более быть по своей непрерывной определенности определенным количеством. Непрерывное, которое арифметически должно быть принимаемо за произведение, тем самым пола-

{363}

гается в самом себе дискретным, а именно разлагается на тс элементы, которые составляют его множители; в этих множителях заключается определенность его величины; и именно потому, что они суть эти множители или элементы, они принадлежат к низшему измерению, а поскольку появляется степенная определенность, имеют степень низшую, чем та величина, элементами или» множителями которой они являются. Арифметически это различие представляется чисто количественным различием корня и степени или какой- нибудь другой стеленной определенности. Но если это выражение имеет в виду лишь количественное как таковое, например а: а2 или d. а2 = 2а: а2 = 2: я, или для закона падения тел t: at2y то оно дает лишь ничего не говорящие отношения 1: я, 2: я, \\at\ в противоположность своему; чисто количественному определению члены отношения должны были бы быть удерживаемы врозь своим различным качественным значением, как например в 5: я*2, где величина выражается как некоторое качество, как функция величины некоторого другого качества. При этом перед сознанием стоит исключительно только количественная определенность, над которой без затруднения производятся подобающие действия, и можно с чистой совестью умножать величину одной линии на величину другой линии; но в результате умножения этих самых величин получается вместе с тем качественное изменение, переход линии в площадь, поскольку появляется некоторое отрицательное определение; оно и вызывает ту трудность, которая разрешается посредством усмотрения своеобразной природы этого определения и простой сути дела; но введением бесконечных, от которых ожидалось ее устранение, эта трудность скорее только еще более запутывается и оставляется совершенно неразрешенной.

Бесконечность определенного количества была определена выше так, что она есть его отрицательное потустороннее, которое оно, однако, имеет в самом себе. Это потусторон364 нее есть качественное вообще. Бесконечное определенное количество как единство обоих моментов — количественной и качественной определенностей — есть ближайшим образом отношение.

В отношении определенное количество уже более не обладает лишь безразличной определенностью, а качественно определено как безоговорочно соотнесенное со своим потусторонним. Оно продолжает себя в свое потустороннее; последнее есть ближайшим образом некоторое другое определенное количество вообще. Но по существу они соотнесены друг с другом не как внешние определенные количества, а каждое имеет свою определенность в этом соотношении с другим. Они, таким образом, в этом своем инобытии возвратились в себя; то, что каждое из них есть, оно есть в другом; другое составляет определенность каждого из них. — Выхождение определенного количества за себя теперь уже, стало быть, не имеет ни того смысла, что оно изменяется лишь в некоторое другое, ни того, что оно изменяется в свое абстрактное другое, в свое отрицательное потустороннее, а имеет тот смысл, что в этом другом оно достигает своей определенности; оно находит самого себя в своем потустороннем, которое есть некоторое другое определенное количество. Качество определенного количества, определенность его понятия заключается вообще в том, что оно внешне, и вот теперь, в отношении, оно положено так, что оно имеет свою определенность в своей внешности, в некотором другом определенном количестве, есть в своем потустороннем то, что оно есть.