Георг Гегель - Наука логики

{277}

имеющее свою определенность в некотором внешнем многообразии лишь в себе, причем оно, однако, по предположению безразлично к этому многообразию и отлично от него. Бесконечное определенное количество содержит, напротив, во-первых, внешность и, во-вторых, ее отрицание в нем самом. Таким образом, оно уже больше не есть некоторое конечное определенное количество, не есть некоторая определенность величины, имеющая наличное бытие как определенное количество, а оно просто, и поэтому имеет бытие лишь как момент; оно есть определенность величины в качественной форме; его бесконечность состоит в том, что оно дано как некоторая качественная определенность.

Таким образом, оно как момент находится в существенном единстве со своим другим, имеет бытие, лишь как определенное этим своим другим, т. е. оно обладает значением лишь в связи с некиим, находящимся к нему в отношении.

Вне этого отношения оно нуль, «между тем как раз определенное количество как таковое, согласно предположению, безразлично к отношению и тем не менее является в нем некоторым непосредственным покоящимся определением.

В отношении оно, как представляющее собою лишь момент, не есть некое стоящее особняком (fur sich) безразличное; в бесконечности как для-себя-бытии, оно, будучи вместе с тем некоторой количественной определенностью, имеет бытие лишь как некоторое «для одного».

Понятие бесконечного, как оно изложено здесь абстрактно, окажется лежащим в основании математического бесконечного, и оно само сделается яснее, когда мы рассмотрим различные ступени выражения определенного количества как момента отношения, начиная с низшей ступени, на которой оно еще есть вместе с тем определенное количество как таковое, и кончая высшей, где оно получает значение и выражение бесконечной величины в собственном смысле.

Итак, возьмем сначала определенное количество в том отношении, в котором оно есть дробное число. Такая дробь, например, 2/7 не есть такое определенное количество, как 1, 2, 3 и т. д.; она есть, правда, обыкновенное конечное число, однако не непосредственное, подобно целым числам,

{278}

а, как дробь, определенное посредственно двумя другими числами, которые суть в отношении друг друга численность и единица, причем и единица также есть некоторая численность. Но взятые абстрагирование от этого их ближайшего определения в отношении друг друга и рассматриваемые лишь со стороны того, что в том качественном соотношении, в котором они здесь находятся, происходит с ними, как с определенными количествами 2 и 7 помимо этого соотношения суть безразличные определенные количества; но так как они здесь выступают как моменты друг друга и, стало быть, некоторого третьего (того определенного количества, которое называется показателем), то они имеют значение не как 2 и 7, а лишь со стороны их определенности в отношении друг друга. Вместо них можно поэтому поставить также 4 и 14 или 6 и 21 и т. д. до бесконечности. Тем самым они, следовательно, начинают получать качественный характер. Если бы они имели значение просто как определенные количества, то пришлось бы признать, что 2 и 7 суть одно — лишь 2, а другое — лишь 7; 4, 14, 6, 21 и т. д. суть безоговорочно нечто другое, чем эти числа и, поскольку они суть лишь непосредственные определенные количества, они не могут быть подставлены одни вместо других. Но поскольку 2 и 7 имеют значение не со стороны той определенности, что они суть такие определенные количества, постольку их безразличная граница снята; они, стало быть, с этой стороны заключают в себе момент бесконечности, ибо они не только как раз уже больше не суть то, что они суть, а еще кроме того сохраняется их количественная определенность, но как в себе сущая качественная определенность, — а именно, согласно тому, что они значат в отношении. Вместо них может быть поставлено бесконечное множество других чисел;, так что величина дроби не изменяется вследствие той определенности, которую имеет отношение.

Но выражение, которое бесконечность находит в изображении ее числовой дробью, еще несовершенно потому, что оба члена дроби, 2 и 7, могут быть изъяты из отношения, и тогда они суть обыкновенные безразличные опреде-

{279}

ленные количества; их соотношение, то обстоятельство, что они суть члены отношения и моменты, есть для них нечто внешнее и безразличное. И точно так же само их соотношение есть обыкновенное определенное количество, показатель отношения.

Буквам, которыми оперируют в общей арифметике, т. е.

ближайшей всеобщности, в которую возводятся числа, не присуще свойство обладать определенной числовой величиной; они суть лишь всеобщие знаки и неопределенные возможности любой определенной величины. Дробь j- представляется поэтому более подходящим выражением бесконечного, так как а и Ь, изъятые из их взаимоотношения, остаются неопределенными и не обладают особой им принадлежащей величиной, даже будучи отделены друг от друга. — Однако, хотя эти буквы положены как неопределенные величины, их смысл все же состоит в том, что они суть какое-либо конечное определенное количество. Так как они суть хотя и всеобщее представление, но лишь об определенном числе, то для них равным образом безразлично то обстоятельство, что они находятся в отношении, и вне последнего они сохраняют то же самое значение.

Если присмотримся еще ближе к тому, что представляет собою отношение, то мы увидим, что ему присущи оба определения: оно, во-первых, есть некоторое определенное количество, но последнее есть, во-вторых, не некоторое непосредственное, а определенное количество, содержащее в себе качественную противоположность; оно вместе с тем остается в отношении тем данным, безразличным определенным количеством благодаря тому, что оно возвращается из своего инобытия, из противоположности, в себя, и, следовательно, есть также некоторое бесконечное. Эти два определения, развитые в их отличии друг от друга, представляются в следующей общеизвестной форме.

{2 1}

Дробь у может быть выражена как 0,285714…, 1—· — как 1 + а — f- а2 — f- д3 и т. д. Таким образом, она имеет бытие как некоторый бесконечный ряд; сама дробь называется суммой или конечным выражением этого ряда. Если

{280}

сравним между собою эти два выражения, то окажется, что одно, бесконечный ряд, уже представляет ее не как отношение, а с той стороны, что она есть некоторое определенное количество как множество таких количеств, которые присоединяются одно к другому, — как некоторая численность. — Что величины, долженствующие ее составить как некоторую численность, сами в свою очередь состоят из десятичных дробей, сами, следовательно, состоят из отношений, это здесь не имеет значения; ибо это обстоятельство касается особого рода единицы этих величин, а не их, поскольку они конституируют численность; ведь и состоящее из нескольких цифр целое число десятеричной системы также считается по существу одной численностью и· не обращается внимания на то, что она состоит из произведений некоторых чисел на число десять и его степени.