Георг Вильгельм Фридрих Гегель - Учение о понятии

Как известно, арифметика и более общие науки о дискретной величине носят по преимуществу название аналитической науки и анализа . Способ их познания действительно наиболее имманентно аналитичен, и надлежит посмотреть вкратце, на чем это основывается. Прочее аналитическое познание начинает с некоторой конкретной материи, имеющей в себе слу {171}чайное многообразие; все различение содержания и движение вперед к дальнейшему содержанию зависит от него. Напротив, арифметическая и алгебраическая материя есть совершенно отвлеченно и неопределенно нечто уже сделанное, в коем погашено всякое своеобразие отношения, и для коего тем самым всякое определение и связь суть нечто внешнее. Таков принцип дискретной величины, одно . Из этого безотносительного атома может быть образовано некоторое множество , он может быть внешним образом определен и соединен в некоторое определенное число, но такое размножение и ограничение есть пустое движение вперед и действие определения, остающегося при том же принципе отвлеченного одного. Таким образом числа сочетаются и отделяются далее, это зависит исключительно от совершаемого познающим положения. Величина есть вообще та категория, внутри коей совершаются эти определения; что представляет собою ставшею безразличною определенность, так что предмет не имеет никакой определенности, которая была бы ему имманентна, т.е. была бы дана познанию. Поскольку познание ближайшим образом установило в себе случайное различие чисел, они и образуют материю для дальнейшей обработки и разнообразных отношений. Такие отношения, их изобретение и обработка, правда, кажутся неимманентными аналитическому познанию, но случайными и данными ему, равно как эти отношения и относящиеся к ним действия обыкновенно излагаются последовательно , как различные, без указания какой-либо внутренней связи. Тем не менее легко указать тут руководящий принцип; и именно он состоит в имманентности аналитического тожества, которое является в различном, как равенство ; чтобы дать пример из основных действий, укажу, что сложение есть сочетание случайно совершенно неравных чисел, умножение напротив – равных , причем за сим следует еще отношение равенства определенного числа и единицы и отношение степенное.

А так как определенность предмета и отношений (арифметики) есть положенная , то дальнейшие действия над ними совершенно аналитичны, и этой аналитической науке свойственны, поэтому, не столько теоремы , сколько задачи . Аналитическая теорема содержит в себе задачу, уже как решенную для себя, и совершенно внешнее различение, привходящее к обеим сторонам, которые полагаются им равными, тем самым несущественно, так что такая теорема была бы лишь некоторым тривиальным тожеством. Кант, правда, признал предложение 5+7=12 за синтетическое , так как одна сторона равенства изображает то же самое в форме множества, 5 и 7, а другая в форме одного, 12. Но если только аналитическое должно означать не совершенно отвлеченно – тожественное и тожесловное 12=12, и если в нем вообще должно быть некоторое движение вперед, то между этими двумя сторонами должно быть какое-либо различение, но только такое, которое основывается не на качестве, не на определенности рефлексии и тем более не на определенности понятия. 5+7 и 12 суть совершенно одно и то же содержание; первая сторона равенства также выражает требование , чтобы 5 и 7 были сочетаны в одном выражении, т.е. чтобы, как пять есть {172}нечто сосчитанное, остановка на коем была совершенно произвольна и вполне допускает дальнейший счет, то таким же образом должно считать далее с тем определением, чтобы число прибавленных одних было семь. 12 есть, стало быть, результат 5 и 7 и некоторого действия, которое, положенное уже по своей природе, есть действие совершенно внешнее, чуждое мысли, и потому могущее быть исполненным даже машиною. Здесь нет ни малейшего перехода в какое-либо другое ; это простое продолжение, т.е. повторение того же действия, через которое произошли 5 и 7.

Доказательство такой теоремы – его требовал он, если бы это было синтетическое предложение – состояло бы лишь в действии определенного через 7 дальнейшего счета, начиная от 5-ти, и в познании совпадения результата этого дальнейшего счета с тем, чтó вообще называется 12-ю, и чтó опять-таки есть не что иное, как именно этот определенный дальнейший счет. Поэтому вместо формы теоремы избирается сейчас же форма задачи , требование действия, т.е. высказывается лишь одна сторона уравнения, долженствовавшего будто бы составить теорему, другая сторона коего должна быть найдена. Задача имеет содержание и приводит к определенному действию, которое должно быть произведено над этим содержанием. Это действие не ограничено никакою резко очерченною, обладающею специфическими отношениями материею, но есть внешнее, субъективное действие, определения которого материя, в которой они положены, принимает безразлично. Все различение поставленных в задаче условий и результата ее решения состоит лишь в том, что в этом результате действительно определенным образом соединено или разделено то, что дано в условиях.

Поэтому оказывается в высшей степени излишним применять здесь форму геометрического метода, относящегося к синтетическим предложениям, и кроме решения задачи присоединять к нему еще какое-либо доказательство . Последним может быть высказано лишь то тожесловие, что решение верно, так как действие было произведено так, как было задано. Если задана задача, то должно сложить несколько цифр; таково решение; их складывают; доказательство указывает, что решение верно, так как вследствие того, что было задано сложить, было произведено сложение. Если задача содержит в себе более сложные определения и действия, напр. если нужно перемножить десятичные дроби, а решение не дает ничего, кроме механического приема, то, правда, требуется доказательство; но последнее состоит лишь в анализе этих определений и действия, из которых само собою вытекает решение. Через это отделение решения , как механического приема, от доказательства , как припоминания природы подлежащего действию предмета и самого действия, именно и утрачивается то преимущество аналитической задачи, по которому построение непосредственно выводится из задачи и потому может быть изображено, как понятное для рассудка в себе и для себя; а с другой стороны, построению явно сообщается некоторый недостаток, свойственный синтетическому методу. В высшем анализе, в коем выступают вместе с отношениями степеней, главным образом, каче {173}ственные и зависящие от определенностей понятий отношения дискретных величин, задачи и теоремы, правда, содержат в себе синтетические определения; там должны быть принимаемы за средние термины другие определения и отношения, чем те, которые непосредственно даны задачами и теоремами. Сверх того и эти вспомогательные определения должны быть таковы, чтобы быть обоснованными через соображение и развитие одной стороны задачи или теоремы; синтетический вид возникает лишь оттого, что в задаче или теореме эта сторона сама уже не упоминается. Напр., задача – найти сумму степеней корней какого-либо уравнения решается через рассмотрение и затем соединение функций, служащих в уравнении коэффициентами корней. Здесь вспомогательное определение функций коэффициентов и их соединений не выражено в самой задаче; в прочих же отношениях самое решение совершенно аналитично. Так решение уравнения x m –1=0 при помощи синуса, а также имманентное, как известно, найденное Гауссом алгебраическое решение через рассмотрение остатка от деления x m -1–1 на m и т. наз. первоначальных корней – одно из важнейших расширений анализа нового времени, есть синтетическое решение, так как вспомогательные определения, синус и рассмотрение остатков, не суть определения самой задачи.