Георг Вильгельм Фридрих Гегель - Учение о бытии

Нельзя отрицать, что в этой области многое, преимущественно при пособии тумана, напущенного бесконечно малыми, считалось за доказательство только потому, что то, что получалось, всегда было уже заранее известно, и что доказательство, построенное таким образом, что получался подобный вывод, имело по крайней мере видимость остова доказательства , видимость, которую все же предпочитали простой вере или опытному знанию. Но я без всякого колебания признаю эту манеру не за что иное, как за {184}простое фокусничество и шарлатанство доказательством, и причисляю сюда и ньютоновы доказательства, особенно такие, как вышеприведенное, за которое Ньютона возвысили до небес и превознесли над Кеплером , утверждая, что первый математически доказал то, что второй нашел лишь путем опыта .

Пустой остов таких доказательств воздвигнут для того, чтобы доказать физические законы. Но математика вообще не может доказать количественных определений физики, так как последние суть законы, обоснованные на качественной природе моментов; не может сделать этого по той простой причине, что математика не есть философия, не исходит от понятий , и что поэтому качественное , если только оно не почерпается лемматически из опыта, лежит вне сферы математики. Поставление достоинства математики в том, что все входящие в нее положения должны быть строго доказаны , часто побуждало забывать о ее границе; таким образом, казалось несогласным с ее достоинством считать опыт источником и единственным доказательством опытных предложений ; позднее сознание этой истины более развилось; но прежде, чем будет выяснено различие того, что математически доказуемо, и что может быть взято лишь извне, как, например, того, что есть лишь член аналитического развития, и что — физическое существование, научность не может считаться достигшею строгого и чистого состояния. А упомянутому остову ньютонова доказательства противоречит уже то право, которое признано за другим неосновательным искусственным ньютоновым построением из оптических опытов и связанных с ними выводов. Прикладная математика еще полна смешением поровну опыта и рефлексии; но подобно тому, как уже довольно давно одна за другою части этой (ньютоновой) оптики стали фактически игнорироваться наукою с тою, однако, непоследовательностью, что прочие ее части, хотя и с противоречием тому, еще сохраняются, — также точно является фактом , что часть этого обманчивого доказательства сама собою уже пришла в забвение или заменена другими доказательствами.

В предыдущем примечании рассмотрены отчасти определенность понятия бесконечно малого , находящего употребление в дифференциальном исчислении, отчасти основания его введения в это исчисление; то и другое суть отвлеченные и потому легкие определения; но так называемое приложение представляет более трудностей, равно как более интересных сторон; элементы этой конкретной стороны должны составить предмет настоящего примечания. Весь метод дифференциального исчисления сводится к положению dx n = nx n- 1 dx или иначе ( f ( x + i )— fx )/ i = P , т. е. равно коэффициенту первого члена двучлена x + d, x + i , развитого по степеням dx или i . Далее нечему учиться новому; вывод ближайших форм дифференциала произведения, степени и т. д. вытекает отсюда механически; в короткое время, в {185}каких-нибудь полчаса — с нахождением дифференциалов дано также и обратное, нахождение по ним первоначальной функции, интегрирование — можно освоиться со всею теориею. Задерживает на ней долее лишь стремление усмотреть, сделать понятным, каким образом после того, как одна сторона задачи, нахождение этого коэффициента решена так легко аналитическим, т. е. совершенно арифметическим путем через развитие функции переменной величины, получившей форму двучлена путем приращения, оправдывается и другая ее сторона , именно опущение прочих членов полученного ряда. Если бы было признано, что единственно в этом коэффициенте и есть нужда, то с его нахождением все, что касается теории, было бы, как сказано, закончено менее, чем в полчаса, и опущение прочих членов ряда не представляло бы никакого затруднения, так как о них, как о членах ряда (как вторая, третья и т. д. производные функции, они находят свое определение уже при определении первой), вовсе не поднималось бы речи, ибо в них не было бы никакой надобности.

Можно предпослать здесь то замечание, что при рассмотрении метода дифференциального исчисления сейчас же бросается в глаза, что он изобретен и установлен не ради себя самого; он не только не обоснован для себя, как особый способ аналитического действия, но необходимость опускать члены, получающиеся через развитие функции, несмотря на то, что все это развитие в целом признается относящимся к делу — ибо дело именно состоит в различении развитой функции переменной величины, после придания ей вида двучлена, от первоначальной функции — совершенно, напротив, противоречит всем основоположениям математики. Как потребность в таком образе действия, так и недостающее ему самому в себе оправдание, сейчас же указывают на то, что его источник и основание находятся где-то вне его. Вообще в науке бывают случаи, когда то, что заранее установлено, как элементарное, и из чего выводятся предложения науки, оказывается неочевидным и требующим, напротив, для себя повода и обоснования в том, что вытекает из него. История дифференциального исчисления показывает, что оно имело свое начало в различных так называемых методах касательных, которые представляли собою как бы фокусы ; этот образ действия, распространенный и на другие предметы, был возведен затем в сознание и выражен в отвлеченных формулах, которым старались придать значение принципов .

Было показано, что определенность понятия так называемых бесконечно малых есть определенность качественно -количественная, которая ближайшим образом положена, как отношение между определенными количествами, с чем связывается эмпирическая попытка обнаружить эту определенность понятия в тех описаниях или определениях, которые находят в бесконечно малом, поскольку оно признается за бесконечно малую разность или за что-либо другое подобное. Это совершается лишь в интересе отвлеченной определенности понятия, как таковой; дальнейший же вопрос должен состоять в том, как отсюда перейти к математической форме и ее {186)приложению. В конце концов, нужно разработать еще далее теоретическую сторону, определенность понятия, которая сама по себе не окажется бесплодною; затем должно рассмотреть отношение ее к ее приложению, и как в том, так и в другом случае показать, насколько это здесь уместно, что получающиеся общие выводы соответствуют тому, чем занимается дифференциальное исчисление, и тому способу, которым оно пользуется.