Георг Вильгельм Фридрих Гегель - Учение о бытии

Движение, изображаемое уравнением s = at 2, мы находим, говорит Лагранж , на опыте в падении тел; простейшее следующее движение должно бы было иметь уравнение s = ct 3, но в природе такого движения не оказывается; мы не знаем, что мог бы означать коэффициент с . Как бы то ни было, есть однако движение, уравнение которого есть s 3= at 2— кеплеров закон движения тел солнечной системы; вопрос о том, что должна означать здесь первая производная функция 2 at /3 s 2, и дальнейшее прямое исследование этого уравнения через дифференцирование, нахождение законов и определений этого абсолютного движения с той исходной точки зрения должно бы конечно явиться интересною задачею, в решении которой анализ проявил бы себя в достойном блеске.

Таким образом для себя приложение дифференциального исчисления к элементарным уравнениям движения не представляет никакого реального интереса; формальный же интерес обусловливается общим механизмом исчисления а . Но иное значение получает разложение движения в отношении определения его траектории; если последняя есть кривая, и ее уравнение содержит высшие степени, то требуется переход от прямолинейных функций возвышения в степень к самим степеням, и поскольку первые должны быть выведены из первоначального уравнения движения, содержащего фактор времени, с устранением времени, то этот фактор должен быть ограничен теми низшими функциями, из коих могут быть получены эти уравнения линейных определений. Эта сторона затрагивает интерес другой части дифференциального исчисления.

Предыдущее изложение имело целью выяснить и установить простое специфическое определение дифференциального исчисления и привести тому некоторые элементарные примеры. Это определение оказалось состоящим в том, что для уравнения степенной функции находится коэффициент, так наз. первая (производная) функция, и что то отношение , которое она собою представляет, обнаруживается в моментах конкретного предмета, причем полученным таким образом равенством между обоими отношениями определяются сами эти моменты. Равным образом надлежит по поводу принципа интегрального исчисления вкратце рассмотреть, что получается для его специфического конкретного определения из его приложения. Взгляд на это исчисление упрощается и исправляется уже тем, что оно не признается более методом суммирования , как оно было названо в противоположность дифференцированию, существенным ингредиентом которого считается приращение, чем оно вводилось в существенную связь с формою ряда. Задача интегрального исчисления прежде всего столь же теоретическая или скорее {201}формальная, как и дифференциального исчисления, но при этом обратная последнему; в первом случае исходят от функции, которая рассматривается, как производная , как коэффициент первого возникающего через развитие еще неизвестного уравнения члена, и через нее должна быть найдена первоначальная степенная функция; та функция, которая в естественном порядке развития рассматривается как первоначальная, здесь имеет характер производный, а та, которая ранее считалась производною, есть здесь данная или вообще первоначальная. Формальная сторона этого действия является уже предрешенною дифференциальным исчислением, так как последнее вообще установляет переход и отношение первоначальной функции к возникающей путем ее развития. Если при этом отчасти для того, чтобы подставить ту функцию, от которой должно исходить, отчасти для осуществления перехода ее к первоначальной функции во многих случаях оказывается необходимым прибегнуть к форме ряда , то нужно прежде всего твердо помнить, что эта форма, как таковая, не имеет никакой непосредственной связи с собственным принципом интегрирования.

Но другою стороною задачи этого исчисления является с точки зрения формального действия его приложение . Последнее и является само задачею узнать — в вышеуказанном смысле — то значение , которое свойственно первоначальной функции, рассматриваемой с точки зрения данной функции, принимаемой за первую (производную) и относимой к особому предмету. Само по себе это учение могло бы, по-видимому, войти вполне в состав дифференциального исчисления; но есть дальнейшее обстоятельство, вследствие которого дело оказывается не так просто. Именно поскольку в этом исчислении оказывается, что в производной функции уравнения кривой получается линейное отношение, то тем самым признается, что интегрирование этого отношения дает уравнение кривой в отношении абсциссы и ординаты; или если дано уравнение кривой поверхности, то дифференцирование уже научает значению производной функции такого уравнения, именно что в этой функции ордината представляет функцию абсциссы, стало быть, уравнение кривой линии.

Но тут возникает вопрос, какой из моментов, определяющих предмет, дан в самом уравнении, ибо аналитическое исследование может исходить лишь от данного а и от него переходить к прочим определениям предмета. Дано, например, не уравнение кривой поверхности а , или происходящего через ее вращение тела, или ее дуга, но лишь отношение абсциссы и ординаты в уравнении самой кривой линии. Переходы от таких определений к этому уравнению не составляют поэтому предмета дифференциального исчисления, найти такие отношения есть дело интегрального исчисления.

Но, далее, было уже показано, что дифференцирование уравнения с многими переменными величинами дает развитие степени или дифференциальные коэффициенты, не как уравнение, а только как отношение; задача состоит в том, чтобы в моментах предмета найти для этого отношения , которое есть производная функция, другое равное ему. Напротив, предмет интегрального исчисления есть самое отношение первоначальной к про {202} изводной в этом случае данной функции, и задача состоит в том, чтобы выяснить значение искомой первоначальной функции в предмете данной производной или, правильнее, так как это значение , например, кривая поверхность или выпрямляемая, представляемая прямою кривая линия и т. п., уже высказано в задаче , в том, чтобы показать, что такое определение может быть найдено через некоторую первоначальную функцию, а также какой момент предмета должен быть принят для исходной (производной) функции.

Обычный метод, пользующийся представлением бесконечно малой разности, легко справляется с делом; для квадратуры кривой он принимает бесконечно малый прямоугольник, произведение ординаты на элемент, т. е. на бесконечно малую часть абсциссы, за трапецию, имеющую одною своею стороной бесконечно малую дугу, противоположную сказанной бесконечно малой части абсциссы; это произведение и интегрируется в том смысле, чтобы интеграл суммы бесконечно многих трапеций дал искомую поверхность, т. е. конечную величину ее элемента. Точно также он образует из бесконечно малой дуги и соответствующих ей ординаты и абсциссы прямоугольный треугольник, в котором квадрат этой дуги считается равным сумме квадратов обоих других бесконечно малых, интегрирование которых и дает конечную дугу.