Алексей Лосев - Итоги тысячелетнего развития, кн. I-II

В результате всего этого, если иметь в виду категориальную точность, то подлинным основателем античного учения о бесконечно малых необходимо считать, как сказано, не Анаксагора и не Демокрита, а именно Платона. Наконец, у Платона в"Филебе"(ИАЭ II 265 – 274, ср. также таблицу на с. 679) имеется даже и соответствующая терминология ("предел","беспредельное"и"смешанное").

Здесь мы, однако, должны сказать, что платоновские термины"предел","беспредельное"и"смешанное"нужно еще уметь расшифровать.

Именно, платоновский термин peras хотя и можно перевести как"предел", это вовсе не есть предел в нашем смысле слова. Мы понимаем под пределом какую то такую постоянную величину, расстояние которой от той переменной величины, которая к ней приближается, может стать менее любой заданной величины. У Платона это, собственно говоря, не предел, но, скорее,"граница". В"Тимее"(55c) этот термин употребляется в рассуждениях о границе космоса, а в"Софисте"(252b) говорится о сведении элементов к ограниченному числу (eis peras). Но еще яснее этот платоновский термин выступает в"Пармениде", где прямо говорится, что"конец и начало образуют предел (peras) каждой вещи"(137d) и что предел (peras) есть то целое, что охватывает части (145a). Другими словами, обычный перевод данного платоновского термина как"предел"чрезвычайно неточен. Это даже и не есть просто"граница". Это такая граница, которая не только отделяет одну вещь от другой, но которая и внутри самой вещи отграничивает одну ее часть от другой части. Правильный перевод был бы"раздельность"или"расчлененность". И поэтому, когда мы приписываем Платону учение о математическом пределе, мы имеем в виду вовсе не термин peras, в котором нет никакого намека на такую переменную величину, которая бесконечно и непрерывно стремится к определенной постоянной величине, приближаясь к ней как угодно близко. Следовательно, наше понятие предела нужно связывать вовсе не с платоновским термином"предел", а с терминами"беспредельное"и"смешанное".

Это"беспредельное"не только квалифицируется у Платона как то, что противоположно раздельности ума и потому является"блуждающей"или"беспорядочной причиной"(Tim. 46e, 48a). В противоположность всегда самотождественному принципу это другой принцип, когда имеется в виду принцип"рассеянного в возникающих и бесконечно разнообразных вещах и превратившегося во множество"(Phileb. 15b) или просто"беспорядочность", ataxia (Tim. 30a). Яснее же всего об этой беспредельности говорится там, где удовольствие, в отличие от упорядоченного ума, трактуется как беспорядочное становление, в котором нет ни начала, ни середины, ни конца (Phileb. 31a). Таким образом, если мы говорим, что именно у Платона имеется учение о континуально–сплошном становлении, то самым ярким доказательством этого является платонический термин apeiron.

Но мало и этого. Дело в том, что так называемое"смешанное"уже по самому своему названию свидетельствует о наличии в нем как расчлененной единораздельной цельности, так и континуально–непрерывного становления. В данном случае речь идет у Платона, очевидно, о сплошном и непрерывном переходе одной части целого к другой его части, так что такое прерывно–непрерывное целое является уже пределом в современном математическом смысле слова, то есть пределом суммы бесконечно малых приращений, происходящих внутри того целого, частями которого они являются.

Итак, то, что именно Платон является в античности основателем терминологически зафиксированного учения о бесконечно малых, можно считать, доказанным.

ж)Ни Платону, ни Аристотелю не повезло в смысле признания за ними предчувствия теории бесконечно малых. Из Платона прежде всего излагают его учение об идеях, а из Аристотеля – прежде всего учение о форме и материи.

Но обыкновенно очень мало обращают внимания на то, что и у того и у другого мыслителя имеется весьма осязательная попытка мыслить бесконечно малое и связанное с этим учение о континуально–сущностном становлении, то есть о континууме.

Чтобы соблюсти параллелизм между Аристотелем и Платоном в данном вопросе, укажем на такие категории Аристотеля, как единое и беспредельное.

О едином у Аристотеля имеется обширное рассуждение в"Метафизике"(V 6). Кто проштудирует эту главу, тот убедится в правильности нашей характеристики Аристотеля как платоника, но только дистинктивно–дескриптивного характера. В этой главе даются очень тонкие дистинкции, которые даже трудно формулировать в систематическом виде. Непрерывность, как и у Парменида, трактуется здесь в качестве разновидности единого. Но в этом тексте (1016a 4 – 6) дается покамест еще слишком узкое определение непрерывности:"Название непрерывной дается той вещи, у которой движение, если ее взять как таковую, одно и иначе [чем одно] быть не может; движение же бывает одно у той вещи, у которой оно неделимо, при этом неделимо – во времени". Таким образом, непрерывность определяется здесь как такое единое, которое остается самим собою в движении вещи, когда движение этой вещи неделимо во времени.

Более подробное, но зато и более общее учение о непрерывности мы находим у Аристотеля в его"Физике"(V 3). Это учение можно изобразить при помощи следующей таблицы [224] Таблицу эту составил H. -J.Waschkies в книге "Von Eudoxos zu Aristoteles. Das Fortwirken der Eudoxischen Proportionentheorie in der Aristotelischen Lehre vom Kontinuum" (Amsterdam, 1977, S. 176). Это очень обстоятельное исследование, из которого мы кое-что заимствуем, но у нас здесь своя точка зрения на предмет. .

Эта таблица настолько ясна сама по себе, что едва ли требует пояснения. Однако это пояснение мы все таки сделаем.

Именно, нужно взять какой нибудь тип непрерывности. В предыдущей цитате из"Метафизики"определенно имелось в виду время. В настоящей же таблице мы имеем в виду другой тип континуума, а именно пространство. Но, собственно говоря, Аристотель имеет в виду вообще любую непрерывность, а для непрерывности необходимо как то, что именно непрерывно, так и тот процесс, в результате которого получается непрерывность. Поэтому непрерывностью является не только то или другое"место", о непрерывном появлении которого речь, но и сам процесс этого появления, то есть"изменение". Если иметь в виду пространственное положение, то отдельные его точки можно брать либо отдельно одна от другой, либо вместе. Но для процесса изменения необходимо брать раздельные точки. В таком случае, если эти точки раздельны, но погружены в процесс изменения, то необходимо признать и нечто промежуточное между ними, а также и следование одной точки за другой в данном изменении. Но при этом мало будет одного следования. Необходимо использовать еще другую категорию"места", а именно категорию"вместе", дающую в более развитом виде категорию"касание". Поэтому если объединить полученное нами следование с касанием, то возникнет"смежное". Однако и"смежное"тоже еще слишком раздельно. Надо, чтобы в этом смежном слились все границы, которые отделяют одно смежное от другого. Вот тогда то и получится непрерывность.