Carlos Casado - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Базовые понятия новой ветви анализа принадлежат Эйлеру и Лагранжу. Первый ввел название вариационное исчисление, а второй создал «метод вариации», который позволяет решить многие проблемы в рамках этой дисциплины. Основа вариационных проблем следующая: предполагается множество С любых элементов (чисел, геометрических точек, функций и так далее), которые обозначаются как м, и каждому элементу и назначается число F(u). Если С — это числовое множество, то F(u) — это функция от одной переменной; если С — это множество точек на плоскости, то F(u) — это функция от двух переменных, и так далее. Но если С — это множество функций, то F(u) — это то, что называется функционалоМу который в одной из различных функций, входящих в состав множества, может принимать значение экстремума (максимума или минимума).

Чтобы решить проблему вариационного исчисления, сравнивали пробную функцию и со всеми ближайшими функциями, то есть с теми, которые получаются при легком варьировании пробной функции и (отсюда название «вариационное исчисление»), и вычисляли функционал F для каждой функции. Для функции, являющейся решением, характерно, что функционал для всех ближайших функций всегда больше (если мы ищем минимум). В этом суть «метода вариации». Эйлер и Лагранж обнаружили: для того чтобы функция и множества С предоставляла экстремальное значение (максимум или минимум) функционалу, F(ü) должно удовлетворять некоторому дифференциальному уравнению (уравнениям Эйлера — Лагранжа). Однако удовлетворение данному уравнению — необходимое, но недостаточное условие.

РИС. 3:

Дуга циклоиды между А и В.

РИС. 4:

Какую из трех возможных траекторий выберет частица, чтобы из А попасть в В? Принцип наименьшего действия устанавливает, что это траектория, минимизирующая величину под названием действие.

Мерой успеха этой плеяды идей является то, что многие математики XVIII и XIX веков стремились истолковать появлявшиеся в физике дифференциальные уравнения как экстремальные условия определенных функционалов. Законы физики можно было переписать в терминах принципов минимума, поскольку природа всегда стремится к оптимизации. Эту же цель преследовали Пьер Луи де Мопертюи (1698-1859) в механике по принципу наименьшего действия (см. рисунок 4), а также Пьер де Ферма (1601-1665) в оптике: траектория, которой следует луч света, проходя из точки А в другую точку В другой среды, — это траектория, требующая наименьшего времени. Физические трактаты конца XIX века были полны подобных принципов, утверждающих, что определенные физические процессы всегда протекают так, чтобы минимизировалось некое количество. Это были так называемые вариационные принципы.

Данная уважаемая область анализа была видом продолжения анализа бесконечно малых. Если традиционный анализ показывал, как найти максимумы или минимумы функции, вариационное исчисление демонстрировало, как определить функцию, максимизирующую или минимизирующую определенный функционал, который обычно выражен в виде интеграла. Однако эта проблема оказалась намного сложнее, и в конце XIX века еще нельзя было определить ряд критериев, гарантировавших существование экстремума (максимума или минимума). Таким образом, неудивительно, что вариационное исчисление касается 3 из 23 проблем Гильберта.

В то время как в проблеме 23 Гильберт задался вопросом о возможном обобщении вариационных методов, в проблемах 19 и 20 он озаботился свойствами и существованием решений проблем вариационного исчисления. Два вопроса оставались открытыми. Первый — существование или отсутствие решения (проблема 20), и второй — свойства, которым в случае своего существования это решение удовлетворяет. Если отбросить техническую оболочку, в проблеме 19 Гильберт спрашивал, должны ли физические проблемы, которые обычно позиционируются как проблемы вариационного исчисления (проблема Дирихле, например), всегда иметь решения с наилучшим поведением: всегда ли решения такие же плавные и регулярные, как аналитические функции (которые можно продифференцировать бесконечное число раз)? Эта проблема была решена в 1904 году российским математиком Сергеем Бернштейном (1880-1968) в его докторской диссертации (одним из руководителей которой был Гильберт). Бернштейн доказал, что решения уравнений в частных, интересовавших Гильберта производных (включая решения уравнения потенциала Лапласа), были, в случае их существования, регулярными, с идеальным поведением, если они удовлетворяли некоторым довольно простым условиям об их трех первых производных. Становилось очевидным, что, например, если интеграл Дирихле достигал своего минимума, то происходило это обязательно в допустимой функции.

Но в том же 1904 году Гильберт удивил математический мир, восстановив доверие к принципу Дирихле, которое тот утратил после критики Вейерштрасса. До Вейерштрасса предполагалось, что в вариационном исчислении у любого функционала есть минимум. Гильберт доказал, что в конкретном случае энергии ДирихлеJ(u) действительно есть минимум. Он построил минимизирующую последовательность функций, значения которой для интеграла были каждый раз все более низкими и сходились к наименьшему значению. И на ее основе он получил минимум, то есть функцию и укоторая де факто достигала этого наименьшего значения. Физики и математики могли вздохнуть с облегчением.

В конце XIX века физики работали в рамках совместного опыта. Классическая механика (созданная Ньютоном) и классическая электродинамика (завершенная Максвеллом) предоставляли абсолютно удовлетворительный для понимания окружающего нас мира материал. С увеличением точности измерительных приборов и возможности осуществлять все более сложные эксперименты физики начали изучать явления в не самых привычных условиях: при очень высоких скоростях (близких к скорости света) и на макрокосмическом или микроскопическом уровне. Именно тогда стали возникать расхождения с прогнозами, которые давала классическая физика, что привело к пересмотру ее оснований и породило две великие физические теории прошлого века: теорию относительности и квантовую теорию. Первая ставила своей целью объяснить явления, происходящие при высоких скоростях (специальная теория относительности) и космических масштабах (общая теория относительности), вторая же изучала явления атомного масштаба (квантовая механика).

К 1900 году ясность классической физики скрывали всего четыре тучи — проблемы, которые она не могла объяснить: излучение черного тела, фотоэлектрический эффект, спектры химических элементов и эфирный ветер. Первые три проблемы дали дорогу квантовой, а последняя — релятивистской физике. Классический принцип относительности, обязанный своим рождением Галилею, не был способен дать объяснение некоторым электромагнитным явлениям, измеряемым интерферометром (эксперимент Майкельсона — Морли). В 1905 году Альберт Эйнштейн (1879-1955) заложил основы специальной теории относительности в своей статье «К электродинамике движущихся тел». Чтобы решить мнимое противоречие, которое проявлялось при изучении поведения уравнений Максвелла в трансформациях Галилея (не прибегая к гипотетическому эфирному ветру), Эйнштейн предложил поддержать теорию Максвелла, изменив механику Ньютона. Нужно было оставить трансформации Галилея, заменив их на трансформации Лоренца, и принять революционную гипотезу: инвариантность скорости света. Среди его выводов были следующие: отказ от эфира, относительность одновременности, сжатие пространства, замедление времени и так далее. Специальная теория относительности вмиг перечеркнула иллюзию об абсолюте пространства и времени классической физики.