Carlos Casado - Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Но Фреге больше интересовался логикой алгебры, чем алгеброй логики, и в своей «Концептографии» формализовал логику пропозиций и предикатов (логику первого порядка), то есть рассуждений о некоторых объектах и свойствах, удовлетворяющих этим объектам, но не о свойствах, которые проверяют такие свойства (это епархия логики второго порядка). Позже в «Основах арифметики» (1884) он заложил базу программы логицизма, которую последовательно изложил в томах «Основных законов арифметики, выведенных концептографически» (1893-1903). Фреге утверждал, что логика предшествует математике и, следовательно, математические понятия должны быть сведены к логическим. Математика — лишь дополнение к логике.

Значит, арифметика была логикой в последней инстанции, и арифметические понятия должны быть проанализированы в чисто логических терминах: «вычислить значит вывести». Говоря словами Фреге, «арифметические предложения — это логические законы, хотя не первичные, а производные». Если упростить окаменелую строгость работ Фреге, в которых педантичности и точности поровну, можно сказать, что он пришел к определению чисел с помощью классов, то есть с помощью множеств, или ансамблей. Каждому натуральному числу соответствовал класс всех классов, которые были подобны (равномощны) заданному. Например, число 3 — это то, что есть общего у всех следующих классов: лепестки трилистника, цвета светофора и так далее. Таким образом, число 3 может быть идентифицировано классом всех этих классов. В целом Фреге идентифицировал число 0 с классом всех пустых классов, 1 — с классом всех одночленных классов, и так далее. И поскольку есть только одно пустое множество (которое обозначается как перечеркнутый кружок, здесь заменен Ǿ), 0 = Ǿ. Тогда число 1 определяется как класс из всех классов, равномощных классу [Ǿ], обладающий единственным элементом. Аналогично определялись остальные числа.

В 1888 году Рихард Дедекинд опубликовал книгу с привкусом логицизма «Что такое числа и для чего они служат»(Гильберт прочитал ее в молодости). Однако Дедекинд определил натуральные числа принципиально иначе, чем Фреге. В 1889 году в книге под названием «Принципы арифметики, изложенные согласно новому методу» итальянский математик Джузеппе Пеано подтвердил аргументы Дедекинда, хотя и не был знаком с его работой, и определил натуральные числа посредством трех первоначальных понятий (нуль, функция последующего члена и равенство) и пяти аксиом.

1. Нуль есть натуральное число.

2. Следующее за натуральным числом есть натуральное число.

3. Нуль не следует ни за каким натуральным числом.

4. Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом.

5. Если какое-либо предложение доказано для нуля и если из допущения, что оно верно для натурального числа А, вытекает, что оно верно для следующего за А натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Пятая аксиома получила название принципа индукции и является основополагающей для доказательства теоремы о натуральных числах без необходимости проверять каждое из них по одному. Принцип формализует интуитивное представление о том, что когда все фишки домино выстроены в одну линию, падение первой из них (нуля) предполагает падение всех остальных (всех натуральных чисел). На основе этих аксиом можно определить сложение и умножение натуральных чисел, а также расположить их в упорядоченном виде. Результат известен как арифметика Пеано.

Джузеппе Пеано, около 1910 года.

К несчастью, смелая программа Фреге была поставлена под сомнение из-за обилия логических парадоксов. В своих работах Фреге всегда исходил из принципа выделения, согласно которому каждому понятию можно назначить его расширение, то есть любое свойство определяет класс элементов, которые удовлетворяют этому свойству. Аксиома существования классов была «Базовым Законом V» «Основных законов арифметики», и именно ею объясняется широкое распространение логицизма Фреге. В письме от 16 июня 1902 года молодой математик Бертран Рассел (1872-1970) проинформировал преподавателя Фреге о том, что в рамках его системы на основе этого несчастного закона может быть выведено противоречие. Парадокс Рассела показывал, что назначение каждому свойству связанного с ним класса было делом рискованным. Узнав об этом противоречии, Фреге добавил приложение ко второму тому «Основных законов арифметики», в котором попытался спасти свой огромный труд, ограничив применение принципа выделения. Вскоре он понял, что от этого мало проку, и остановил публикацию третьего тома своей главной работы. Он так и не оправился от удара. Погрузившись в меланхолию, без всякой надежды, но и без страха он признавал катастрофу:

«Нет для ученого ничего ужаснее, чем выяснить, что все основание его работы рушится, именно в тот момент, когда он эту работу заканчивает. Меня в эту ситуацию поставило письмо господина Рассела, моя работа была почти готова к печати».

Продемонстрировав интеллектуальную целостность, которой Рассел восхищался всю жизнь, Фреге ответил последнему, что арифметика, а с ней и вся математика вновь пошатнулись. Здравого смысла не было достаточно для поддержания безопасности математики перед лицом угроз, исходящих от логики.

До весны 1901 года, когда Рассел обнаружил свой парадокс, согласно Фреге, считалось, что каждому свойству соответствует один класс, который образован сущностями, обладающими этим свойством. Рассел изучал поведение собственных классов, то есть тех, которые являются членами самих себя. Например, класс всех классов (который, являясь другим классом, принадлежит сам себе) или класс всех понятий (являясь другим понятием, также принадлежит сам себе). Логические огрехи неизбежны: если в библиотеке поместить имеющий черную обложку каталог всех книг в библиотеке, у которых имеется черная обложка, этот каталог каталогизирует сам себя.

Возьмем класс R всех классов, которые обладают свойством не быть членами самих себя, формально: R = [х: х /ϵ х], где ϵ — символ принадлежности (/ϵ здесь замена перечеркнутого ϵ). И зададимся вопросом, является ли R членом самого себя, если R ϵ R. Мы выясним, что любой ответ сразу же предполагает противоположный ответ. Если это так, то это не так. Если это не так, то это так. Действительно, если R ϵ R, то есть если R принадлежит самому себе, то, по определению, R /ϵ R, то есть R не принадлежит самому себе, поскольку это класс всех классов с этим свойством. Но и наоборот, если R /ϵ R, то R ϵ R, поскольку оно выполняет свойство, определяющее класс всех классов, которые не являются членами самих себя. В итоге получается противоречие: R ϵ R только тогда, когда R /ϵ R. Класс R принадлежит самому себе только тогда, когда он не принадлежит самому себе. Рассел был в недоумении от абсурда, с которым он столкнулся. Этому противоречию он затем дал название парадокса брадобрея: цирюльник в деревушке утверждает, что бреет всех мужчин, которые не бреются сами, и никого больше. В один прекрасный день, проснувшись, он задается вопросом, кто же бреет его, и в замешательстве осознает, что бреет сам себя тогда и только тогда, если не бреет сам себя. Бедный цирюльник попадает в настоящее логическое болото.