Juan Carretero - Темная сторона материи. Дирак. Антивещество

, и использовано выражение:

Матрицы Дирака могут быть прямо выражены через матрицы Паули, о k, в следующей форме:

Вставляя выражение γ 0 ≡ β; γ k≡ ßa kи умножая левую часть этого уравнения Дирака на матрицу β, мы в итоге получаем

Уравнение в рамке соответствует тому, что запечатлено в Вестминстерском аббатстве. Несмотря на кажущуюся простоту, оно на самом деле объединяет четыре дифференциальных уравнения. Данное уравнение известно как «ковариантная форма уравнения Дирака для свободного электрона» и включает в себя оператор

γ ∙ ∂ ≡ γ 0∂/∂t + γ x∂/∂x + γ y∂/∂y + γ z∂/∂z.

Дираку не было достаточно просто формулировки своего уравнения в написанной им статье 1928 года: ученый также доказал, что оно соблюдает свойство инвариантности при преобразованиях Лоренца. Так, уравнение Дирака представляет собой действительно удовлетворительное описание квантового поведения субатомных частиц: оно соблюдает релятивистское соотношение момента и энергии, из него вытекает плотность вероятности, имеющая положительное значение, с действительными значениями энергии, и, наконец, оно согласуется с принципом относительности Эйнштейна.

Спустя годы Дирак удивлялся: «Не могу понять, почему мне понадобилось столько времени, чтобы решить такой элементарный вопрос». Дирак довел математику до ее предела. Необходимость ввести новые размеры заставила его принять волновые функции, описанные через четыре составляющие, физический смысл которых (отбросив два возможных состояния спина) в последующие годы стал новой головоломкой для физиков. Теория электрона Дирака является примером того, что Вигнер назвал «иррациональной действенностью математики в естественных науках».

Уравнение Дирака ошеломило всех его коллег. Некоторые из них уже многие месяцы выводили квантовое релятивистское уравнение, и работа Дирака поставила их в тупик, породив глубокое чувство неудовлетворенности. Йордан заметил: «Я не прощу себе своей неспособности понять, что главным было найти линейное выражение». Тем не менее он признал качество работы Дирака: «Я бы предпочел сам вывести уравнение, но формулировка Дирака столь восхитительна, уравнение такое лаконичное, что мы все должны наслаждаться тем, что оно появилось на свет». Это мнение разделяли практически все физики. Гейзенберг заявил: «Я очень высоко ценю его последнюю работу о спине». А Эренфест сказал: «Я нахожу последнюю работу Дирака о спине электрона просто замечательной».

Работа о спине рассматривалась как чудо. Общее чувство было, что Дирак получил больший результат, нежели заслуживал. Никто до этого так не подходил к физике.

Леон Розенфельд, бельгийский физик, коллега Борна в Геттингене

Общее восхищение и уважение, вызванное уравнением Дирака, было связано не только с тем, каким именно методом ученый разработал его (главенство основополагающих принципов физики над всеми остальными эмпирическими методами), но также и с решениями этого уравнения. Свойство спина появлялось как естественное следствие самой структуры уравнения, которое в свою очередь было логическим результатом основополагающих принципов двух главных новаторских теорий физики — теории относительности и квантовой теории. Уравнение давало магнитный момент электрона и позволяло получить точное значение постоянной тонкой структуры.

Показатель взаимодействия между спином электрона и его кинетическим орбитальным моментом в атоме водорода также автоматически вытекал из уравнения. Это исключительно релятивистский эффект, связанный с преобразованием между системами отсчета, относящимися к электрону и протону (ядро), который надо было вводить «вручную» в уравнение Паули. Наконец, уравнение Дирака сводилось к уравнению Шрёдингера или уравнению Паули в пределах маленьких кинетических энергий, сопоставляемых с собственной энергией электрона. Оно несомненно было одним из самых значительных прорывов в физике XX века. Однако это же уравнение приводило в замешательство. Позднее Гейзенберг вспоминал:

«До начала 1928 года у меня было впечатление, что в квантовой теории мы твердо стоим на якоре в порту. Но уравнение Дирака снова выбросило нас в открытое море».

Трудности, связанные с уравнением Дирака, косвенно вытекали из его структуры. Если для описания спина достаточно двух составляющих, то в чем смысл двух дополнительных значений, появляющихся в уравнении? Должно было пройти несколько лет, чтобы стал очевидным физический смысл решений уравнения Дирака. Однако ясная и прозрачная математическая структура уравнения не оставляла никаких сомнений: его решения соответствовали одновременно и обычным электронам с положительным значением энергии, и электронам с отрицательным значением энергии.

Дирак с самого начала осознавал возникшую сложность. Он заметил, что возможность двух типов решения (положительные и отрицательные энергии) неизбежно появляется в любой релятивистской квантовой теории. В своих первых работах об электроне Дирак обозначил две главные трудности, которые подрывали предыдущую теорию Клейна — Гордона.

1. Их уравнение не было линейным по энергии или, что возвращает к тому же, по временной производной.

2. Уравнение действует одновременно и для электронов с зарядом +е, и для электронов с зарядом -е.

Дирак писал в своей статье:

«Некоторые из решений волнового уравнения представляют собой волновую группу, описывающую частицу с зарядом -е, тогда как другие соответствуют частице с зарядом +е. Для второго типа решений энергия В имеет отрицательное значение.

Заметим, что Дирак разобрался с первой трудностью, но не смог разрешить вторую. Поэтому в первое время он считал, что его теория является только приближением к решению проблемы, и писал:

«Истинное релятивистское волновое уравнение должно быть таким, чтобы его решения делились на две независимые группы, каждая из которых соответствовала бы частицам с зарядом -е и +е».

Кроме того, в своей статье Дирак обращал внимание на то, что все решения, относящиеся к электронам с зарядом +е, должны исключаться; однако он осознавал главные различия, которые существовали между классической теорией и квантовой, а также возможные последствия нового типа решений: