Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Исламская паркетная мозаика из дворца Альгамбра в Гранаде (Испания)

Если отправиться еще дальше на восток, то мы окажемся в другой цивилизации, которая давно восприняла красоту геометрических форм. В Японии все знают оригами. Это искусство складывания бумаги возникло из обычая крестьян воздавать благодарность богам во время уборки урожая, предлагая им на листке бумаги богатые приношения. Предназначенное богам располагалось не на плоском листе, а на сложенном по диагонали, дабы сделать дар более теплым, душевным. Оригами расцвело в Японии за последние несколько сотен лет в качестве досуга, как нечто вроде игры, в которую родители играют с детьми ради развлечения. Оригами как нельзя лучше отвечает любви японцев к художественной сдержанности, вниманию к деталям и экономии формы.

На первый взгляд складывание оригами из визитных карточек кажется сугубо японским изобретением, объединяющим два этих национальных пристрастия. На самом же деле такая практика японцам претит. Они воспринимают визитные карточки как продолжение личности, поэтому забавы с ними рассматриваются как серьезное оскорбление, пусть даже это оригами. Когда я попытался сложить визитную карточку в ресторане в Токио, меня едва не выставили на улицу за такое антиобщественное поведение. В остальном мире, однако, оригами с визитными карточками — некий современный поджанр в искусстве складывания бумаги. Ему более сотни лет, со времен (ныне позабытой) практики оригами с карточками, использовавшимися при нанесении визитов.

Примером может служить складывание карточки так, чтобы правый нижний угол пересекся с левым верхним углом, а затем сложение нахлестов. Повторите то же с другой карточкой, только на этот раз сложите левый нижний угол с правым верхним. Получатся две половинки тетраэдра.

Как сложить тетраэдр из карточек

Октаэдр можно сделать из четырех карточек, а икосаэдр — из десяти. Несложно также сделать четвертое платоново тело — куб. Сложим две карточки друг на друга в виде знака плюс и загнем выступающие части. Получившееся имеет форму квадрата. Шесть карточек, сложенных таким образом, собираются в куб, хотя загнутые части и остаются снаружи. Требуется еще шесть карточек, чтобы, надвинув их на грани, сделать куб гладким.

Как сложить куб из карточек

Жанин Мозли, программистка из Массачусетса, — настоящий дзен-мастер оригами из карточек. Несколько лет назад она обнаружила, что у нее в гараже скопились 100 000 карточек — они достались ей от коллег по работе: первый комплект она получила, когда компания сменила название, второй — когда компания поменяла адрес, а затем еще один, когда выяснилось, что во всех новых карточках имеется опечатка. При наличии таких ресурсов она готова была бросить вызов самому сложному объекту в искусстве оригами — губке Менгера.

Прежде чем мы подойдем к губке Менгера, мне следует познакомить вас с ковром Серпинского. Эту замысловатую фигуру изобрел в 1916 году польский математик Вацлав Серпинский. Начнем с черного квадрата. Представим себе, что он сделан из девяти одинаковых подквадратиков, и удалим центральный (рис. А). Далее для каждого из оставшихся подквадратиков повторим эту операцию — то есть представим себе, что они сделаны из девяти подквадратиков каждый, и удалим центральные (рис. В). Снова повторим тот же процесс (рис. С). Ковер Серпинского — это то, что получится, если продолжать подобные действия до бесконечности.

В 1926 году австрийский математик Карл Менгер предложил трехмерный вариант ковра Серпинского, получивший известность как губка Менгера. Начнем с куба. Представим себе, что он сделан из 27 одинаковых подкубов, и удалим подкуб, расположенный в самом центре, а заодно и шесть подкубов в центре каждой грани исходного куба. Получается куб, в котором просверлили три квадратные дырки (рис. D). Поступим с каждым из оставшихся 20 подкубов как с исходным кубом и удалим 7 из 27 подкубов из каждого (рис. E). Повторим этот процесс еще раз (рис. F), после чего наш куб примет такой вид, будто в нем пировал целый выводок геометрически озабоченных древесных червей.

Губка Менгера

Губка Менгера — поразительный, парадоксальный объект. При продолжении итераций, в ходе которых удаляются все меньшие и меньшие кубы, объем губки все уменьшается, и в конце концов она становится невидимой — как если бы древесные черви съели ее целиком. Однако при каждой итерации, состоящей в удалении кубиков, площадь поверхности губки возрастает. Совершая все больше и больше итераций, можно сделать площадь его поверхности больше любого наперед заданного значения, а это означает, что, когда число итераций стремится к бесконечности, площадь поверхности губки также стремится к бесконечности. В пределе губка Менгера — это объект с бесконечно большой площадью поверхности, но при этом невидимый.

Мозли построила губку Менгера третьего уровня — другими словами, губку, получаемую за три итерации удаления кубиков (рис. F). На это у нее ушло десять лет. Она прибегла к помощи около 200 человек и использовала 66 048 карточек. Построенная ею губка имеет высоту, ширину и глубину по четыре фута и восемь дюймов.

«Я долгое время размышляла над вопросом, делаю ли я нечто совершенно нелепое, — сказала она мне. — Но когда я закончила работу и взглянула на эту штуку, я осознала, что ее масштаб придал всему делу великолепие. Особенно чудесно, что в модель можно засунуть голову и плечи и посмотреть на эту изумительную фигуру с такой точки зрения, с которой раньше никто на нее не смотрел. Это было бесконечно пленительно, потому что чем глубже в нее погружаешься, тем больше видишь повторяющих самих себя структур. Просто смотришь на все это, и ничего объяснять не требуется. Это идея, воплощенная в материале; математика, ставшая наглядной».

Хотя оригами — исходно японское изобретение, приемы складывания бумаги развивались — причем совершенно независимо — и в других странах. В Европе пионером оригами был немецкий преподаватель Фридрих Фрёбель, в середине XIX столетия использовавший складывание объектов из бумаги как метод обучения маленьких детишек началам геометрии. Оригами обладало тем преимуществом, что позволяло его подопечным в детском садике наблюдать за тем, как геометрические объекты создаются в пространстве, а не просто рассматривать их плоские изображения на рисунках. Пример Фрёбеля перенял другой математик — индиец Сундара Роу, написавший в 1901 году книгу «Геометрические упражнения со складыванием бумаги», в которой он утверждал, что оригами — математический метод, в ряде случаев оказывающийся более мощным, чем Евклидов. Он говорил, что «несколько важных геометрических процессов можно осуществить намного проще, чем с циркулем и линейкой». Но даже Роу не мог предвидеть, насколько это мощный метод — оригами.