Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Теорема Хаги: треугольники А, В и С — египетские

Другая теорема Хаги

В теореме Хаги угол складывается на середину стороны. Хага задался вопросом, возникнет ли что-нибудь интересное, если сложить угол на случайную точку на стороне. Решив это продемонстрировать мне, он взял синий квадратный листок из набора бумаги для оригами и красной ручкой отметил произвольную точку на одной из сторон, сложил листок так, чтобы один из противоположных углов попал на эту отметку, и сделал складку, а потом развернул листок. Затем он сложил его так, чтобы другой противоположный угол попал на ту же отметку, и сделал вторую складку, — получился квадрат с двумя пересекающимися линиями.

Хага показал мне, что пересечение двух складок всегда происходит на средней линии листа бумаги и что расстояние от выбранной произвольной точки до пересечения всегда равно расстоянию от пересечения до противолежащих углов. Меня это просто потрясло. Точка выбиралась случайным образом и вовсе не по центру. И тем не менее процесс складывания подобен самокорректируемому механизму!

Мне пришло в голову, что если про кого-то и можно сказать, что этот человек воплощает в современном мире душу Пифагора, то это определенно Кадзуо Хага. И у него, и у Пифагора одна и та же страсть к математическим открытиям, в основе которых — искреннее восхищение гармонией геометрии. И это восхищение, судя по всему, повлияло на Хагу в духовном плане аналогично тому, как это случилось с Пифагором две тысячи лет назад. «Большинство японцев пытаются в оригами создавать новые фигуры, — говорит Хага. — Моя же цель — уйти от идеи создания чего-то физического, а вместо этого открывать новые математические феномены. Вот почему я нахожу оригами таким интересным. Оказывается, в очень, очень простом мире все еще можно обнаружить захватывающие вещи».

Каждый год в расположенный на побережье индийский город Пури стекается миллион паломников. Собираются они ради самого зрелищного фестиваля в индуистском календаре — Рат Ятра («парад колесниц»), во время которого по городу проезжают три гигантские разукрашенные колесницы. Когда я туда приехал, улицы были заполнены любителями цимбал и мантр, босоногими святыми людьми с длинными бородами, а также индийскими туристами — типичными представителями среднего класса, одетыми в модные футболки и сари неоновых цветов. Была середина лета — начало сезона дождей, и, если не лил проливной дождь, работники фестиваля опрыскивали водой лица проходивших мимо, чтобы дать немного прохлады. Хоть и не столь масштабные, процессии фестиваля Рат Ятры проходят одновременно по всей Индии, но праздник в Пури — главное событие, а участвующие в нем колесницы — самые большие.

Фестиваль начинается по-настоящему, только когда местный святой — Шанкарачарья из Пури — предстает перед толпой и благословляет собравшихся. Шанкарачарья — один из самых важных индуистских мудрецов, глава монашеского ордена, корни которого уходят в историю более чем на тысячу лет. Из-за него-то я и отправился в Пури. Он — не только духовный лидер, но и публикующий свои работы математик.

Сразу по прибытии в Индию я обратил внимание на не совсем обычное использование числительных. В гостинице, где я остановился, мне попался номер газеты «Times of India», и я прочел крупный заголовок на первой странице:

Индусов на 5 крор больше, чем считало правительство

«Крор» — индо-английское слово, означающее 10 миллионов, так что в газетной статье говорилось о том, что в Индии внезапно обнаружилось 50 миллионов жителей, о существовании которых никто никогда не подозревал. Как можно не заметить столько граждан своей страны, даже если принять во внимание, что это менее 5 процентов всего населения? Но что озадачило меня гораздо больше — так это само слово «крор». В индийском английском языке для больших чисел используются иные слова, нежели в британском или американском английском. Например, слово «миллион» вообще не применяется. Миллион выражается как «десять лакх», где «лакх» — это сто тысяч. Поскольку о «миллионе» в Индии никогда не слышали, осыпанный «Оскарами» фильм «Миллионер из трущоб» вышел здесь под названием «Кроранер из трущоб». Очень богатым человеком считается владелец крора долларов или рупий, — а вовсе не миллиона указанных единиц. Индийские эквиваленты названий чисел таковы:

Стоит заметить, что для чисел выше тысячи индийцы используют разделительную запятую после каждых двух цифр, тогда как во всем остальном мире, где используется разделительная запятая, принято ставить ее через каждые три цифры.

Слова «лакх» и «крор» — наследие Древней Индии. Они происходят из слов «лакх» и «карод» (хинди), которые, в свою очередь, происходят из санскритских названий этих чисел — «лакш» и «коти». В Древней Индии изобретение слов для больших чисел было научным и религиозным предприятием. Например, в «Латисвара Сутра» — тексте на санскрите, датируемом самое позднее началом VI столетия, — перед Буддой встает проблема выразить числа большие чем сто «коти». На что он говорит:

«Одна сотня „коти“ называется „аюта“, сотня „ают“ дает „пиюту“, сотня „пиют“ дает „канкару“, сотня „канкар“ дает „вивару“, а сотня „вивар“ — это „кшобхья“».

Будда продолжает счет числами, кратными ста, пока не добирается до «таллакшана», что есть десять миллионов, умноженные на сто 23 раза, — как можно видеть, это 10, за которым следуют 53 нуля, или, другими словами, 10 53. Это колоссально большое число — настолько большое, что если измерить всю Вселенную от края до края в метрах, а потом возвести полученное число в квадрат, то получится как раз нечто в районе 10 53.

Но Будда на этом не остановился. Он разъяснил, что описал только лишь счетную систему таллакшана, и выше нее имеется другая система, в которой такое же количество членов. А выше той — еще одна, и в ней снова 24 названия для чисел. Но и это еще не все — кроме них есть еще шесть других систем, каковые Будда, разумеется, полностью перечислил. Последнее число в самой последней системе эквивалентно 10 421— это единица с 421 нулем.