Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Пятиконечная звезда — мистический символ, рожденный в древности, — содержит в себе золотое сечение

Ключевой работой, посвященной золотому сечению, была написанная в 1509 году книга выдающегося итальянского математика францисканца Луки Пачоли (1445–1517) «Божественная пропорция», где описывались многие случаи появления этого числа из геометрических построений. Иллюстрировал книгу друживший с Пачоли Леонардо да Винчи. Итак, Пачоли пришел к выводу, что число фи — послание Бога, источник тайного знания о внутренней красоте вещей.

С математической точки зрения число фи интересно еще и потому, что оно связано с самой знаменитой последовательностью в математике — последовательностью Фибоначчи. Эта последовательность начинается с чисел 0 и 1, а далее каждый следующий член представляет собой сумму двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Вот как получаются эти числа:

Прежде чем говорить о том, как связаны число фи и последовательность Фибоначчи, давайте изучим саму последовательность. Природа тяготеет к числам Фибоначчи. Заглянув в сад, вы обнаружите, что у большинства цветков число лепестков равно числам Фибоначчи. У лилий и ирисов — три лепестка, у гвоздик и лютиков — пять, у дельфиниума — восемь, у ноготков — 13, у астр — 21, а у маргариток — 55 или 89. Каждый цветок может и не иметь всегда в точности столько лепестков, но в среднем их число будет одним из чисел Фибоначчи. Например, на стебле клевера обычно три листочка — это тоже число Фибоначчи. Лишь очень редко у клевера бывает четыре листочка, поэтому четырехлистный клевер считается особенным. Они встречаются редко как раз потому, что 4 — не число Фибоначчи.

Числа Фибоначчи встречаются также в спиральных узорах, которые образуют чешуйки сосновых шишек и ананасов, соцветия цветной капусты и семена подсолнухов. Можно пересчитывать витки спирали по часовой стрелке или против — все, что вы насчитаете в любом направлении, будет числами Фибоначчи. На ананасах, как правило, 5 и 8 спиралей, или же 8 и 13. На еловых шишках их обычно 8 и 13. У подсолнухов спиралей может быть 21 и 34 или же 34 и 55 — хотя известны примеры с 144 и 233 спиралями. Чем больше семян в подсолнухе, тем больше оказывается число спиралей.

Последовательность Фибоначчи называется так потому, что ее члены впервые появились в написанной Фибоначчи книге «Liber Abaci», в связи с задачей о кроликах. Однако свое имя эта последовательность приобрела лишь через более чем 600 лет после выхода книги — в 1877 году, когда ее изучал теоретико-числовик Эдуар Люка. Именно он решил воздать должное Фибоначчи, назвав последовательность его именем.

В книге «Liber Abaci» эта последовательность возникла из следующей задачи. Пусть у нас имеется пара кроликов, которая через месяц дает потомство — появляется еще пара кроликов. Если у каждой взрослой пары кроликов каждый месяц появляется потомство — пара крольчат, — а крольчатам требуется один месяц, чтобы стать взрослыми, то сколько кроликов получится от первой пары через год? Ответ на этот вопрос можно получить, пересчитывая кроликов из месяца в месяц. В первый месяц имеется всего одна пара. В второй месяц — две, поскольку исходная пара произвела новую. На третий месяц имеется три пары, потому что исходная пара снова размножилась, но другая пара лишь достигла зрелости. На четвертый месяц обе пары взрослых кроликов размножились, что добавит двойку к имеющейся тройке. Последовательность Фибоначчи — это полное число пар, подсчитанное месяц за месяцем:

Важное свойство последовательности Фибоначчи состоит в том, что она рекуррентная , — то есть каждый новый член порождается предыдущими. Это же помогает понять, почему числа Фибоначчи настолько распространены в природе. Многие живые организмы растут, следуя рекуррентному процессу.

Последовательность Фибоначчи не только описывает формирование плодов и процесс безостановочного размножения кроликов, но и обладает разнообразными увлекательными математическими свойствами. Закономерность будет легче увидеть, если мы выпишем первые 20 чисел. Каждое число Фибоначчи традиционно записывается с использованием буквы F, снабженной нижним индексом, который обозначает положение данного числа в последовательности:

При более близком рассмотрении удается заметить, что наша последовательность воспроизводит саму себя многими и весьма неожиданными способами. Взглянем на числа F 3, F 6, F 9— другими словами, на каждое третье F -число. Все они делятся на 2. А числа F 4, F 8, F 12— то есть каждое четвертое F -число — делятся на 3. Каждое пятое F -число делится на 5, каждое шестое F -число делится на 8, и каждое седьмое — на 13. Эти делители в точности являются F -числами из самой последовательности.

Другой впечатляющий пример получается при вычислении 1/ F 11 , то есть 1/ 89. Это число равно сумме чисел

0,0

0,01

0,001

0,0002

0,00003

0,000005

0,0000008

0,00000013

0,000000021

0,0000000034

Таким образом, здесь снова высовывает голову последовательность Фибоначчи [51] Надо продолжать складывать. Сумма одних лишь указанных чисел отличается от 1 / 89 на 6,561797754461862… × 10 -10 . Прибавление еще двух слагаемых, 0,00000000055 и 0,000000000089, приближает к 1 / 89 уже на 1,7179774963738126… × 10 -11 . ( Примеч. перев. ) .

А вот другое интересное математическое свойство этого ряда. Возьмем любые три последовательных F -числа. Произведение первого на третье всегда на 1 отличается от квадрата второго числа.

Для F 4, F 5, F 6 имеем F 4 × F 6 = F 5 × F 5 - 1 (24 = 25 - 1).

Для F 5, F 6, F 7 имеем F 5 × F 7 = F 6 × F 6 +1 (65 = 64 + 1).

Для F 18, F 19, F 20: F 18 × F 20 = F 19 × F 19 - 1 (17 480 760 = 17 480 761 - 1).