Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Исследования Гальтона подтвердили то, что утверждал Кетле, — вариации в человеческих популяциях строго предопределены. Гальтон тоже повсюду обнаруживал колоколообразную кривую. Именно то, что она появлялась столь часто, навело его на мысль использовать термин «нормальное» как наиболее подходящее определение для данного распределения. Окружность человеческой головы, размер мозга и количество мозговых извилин — колоколообразные кривые были везде, хотя сам Гальтон больше всего интересовался нефизическими характеристиками, например интеллектом. Тесты для измерения IQ. тогда еще не придумали, так что Гальтон решил использовать результаты вступительных экзаменов в Королевскую военную академию в Сандхерсте. Баллы, выставленные за экзамен, также ложились на колоколообразную кривую! Она вызывала в нем чувство восхищения, смешанного с ужасом. «Едва ли мне известно что-либо другое, столь же впечатляющее, чем эта по-истине чудесная форма космического порядка, выраженная в колоколообразной кривой, — писал он. — Если бы древние греки знали о таком законе, они бы придумали для него специального бога, который правит, невозмутимый и незаметный, среди ужасного беспорядка. Чем огромней толпа и чем больше анархия, тем более совершенно его действие. Это высший закон иррациональности».

Гальтон изобрел на удивление простое приспособление, названное «квинканкс» [64] Квинканкс — доска Гальтона. ( Примеч. перев. ) , для объяснения той математики, что стоит за обожаемой им кривой. Слово «квинканкс» исходно означало пятерку — пять точек, расположенных как на игральной кости 5, а придуманное им приспособление представляло собой нечто вроде пинбол-машинки — ящик с прозрачной передней стенкой, в заднюю стенку которого в шахматном порядке вбиты штырьки. Сверху в ящик через воронку, расположенную посередине, кидаются шарики. Нижняя часть ящика разделена перегородками, число которых равно числу штырьков в последнем ряду. Падая, шарики скапливаются на дне и образуют столбики. Распределение высот этих столбиков напоминает колоколообразную кривую [65] При достаточно большом числе шариков. ( Примеч. перев. ) .

Квинканкс

Разобраться в том, что здесь происходит, можно используя идею о вероятности. Сначала представим себе квинканкс с одним-единственным штырьком; когда шарик ударяется о него, исход такого соударения случаен: в 50 процентах случаев шарик отскочит налево, а в 50 процентах случаев — направо. Другими словами, с вероятностью 1:2 он попадет в положение слева, а с вероятностью 1:2 — справа от центра.

Теперь добавим второй ряд штырьков. Теперь шарик может повернуть или сначала налево и потом еще раз налево, что мы будем обозначать как LL, или налево и потом направо, что мы обозначим как LR, или же, в тех же обозначениях, пройти пути RL или RR. Поскольку исход «сначала повернуть налево, а затем сразу же направо» эквивалентен исходу «положение шарика не меняется», L и R сокращают друг друга (как, равным образом, и R и L), так что в результате вероятность того, что шарик попадет в левое положение, равна 1:4, вероятность того, что он попадет в середину, равна 2:4, и вероятность того, что он уйдет направо, также равна 1:4.

Добавим третий ряд. Повторяя наши рассуждения, видим, что равновероятные исходы состоят в том, что пути шарика будут LLL, LLR, LRL, LRR, RRR, RRL, RLR и RLL. Это дает вероятность 1:8 приземлиться в крайнем левом положении, 3:8 — слева рядом с центром, 3:8 — справа рядом с центром и 1:8 — в крайнем правом положении.

Другими словами, если в квинканксе имеется два ряда и мы накидаем туда уйму шариков, то по закону больших чисел шарики лягут на дно в отношении, близком к 1:2:1.

Если рядов три, то шарики соберутся на дне в отношении 1:3:3:1.

Если рядов четыре, то в отношении 1:4:6:4:1.

Подсчитывая вероятности и дальше, для квинканкса с десятью рядами штырей получим, что шарики распределятся в отношении

1:10:45:120:210:252:210:120:45:10:1.

Если нанести эти числа на график, то получатся распределения, показанные на рисунке.

Форма кривой становится все более знакомой по мере увеличения числа рядов из штырей. На рисунке приведены также диаграммы, получающиеся для 100 и 1000 рядов. (Для двух последних диаграмм показаны только их центральные области, поскольку значения в областях, уходящих налево и направо, слишком малы, чтобы их можно было изобразить.)

Итак, как же игра в пинбол связана с тем, что имеет место в реальном мире? Представим себе, что каждый ряд штырей в квинканксе — это случайная переменная, которая приводит к ошибке в измерении: или добавляет немного к измеряемому значению, или же, наоборот, немного из него вычитает. В случае Галилея и его телескопа один из рядов, составленных из штырей, мог бы представлять наличие проходящего рядом атмосферного фронта, а другой ряд мог бы представлять наличие загрязняющих примесей в воздухе. Каждая переменная вносит тот или иной вклад в ошибку — в точности как шарик отскакивает в квинканксе вправо или влево. При любом измерении имеется много миллионов ненаблюдаемых случайных ошибок, однако их совместный эффект приведет к результатам, распределенным по колоколообразной кривой.

Если характеристики, относящиеся к народонаселению, распределены нормально — другими словами, группируются вблизи среднего и ложатся на колоколообразную кривую, — и если колоколообразная кривая есть результат случайных ошибок, то, как утверждал Кетле, вариации в человеческих характеристиках можно воспринимать как ошибки, отвечающие отклонению от некоего образца. Он назвал такой образец «l’homme тоуеп» — «средний человек». Популяции, утверждал он, составлены из отклонений от этого образца. По мысли Кетле, следовало всячески стремиться к тому, чтобы быть средним, потому что именно таким образом общество удерживалось бы под контролем, а отклонения от среднего, писал он, приводят к «телесному уродству и моральному разложению». Хотя концепция «l'homme тоуеп» не получила признания в науке, использование этого термина просочилось в широкие слои общества. Часто, рассуждая о морали или вкусах, мы апеллируем к тому, что подумал или почувствовал бы средний представитель человечества, и говорим о том, что приемлемо «с точки зрения среднего человека».

Кетле превозносил идею среднего, но Гальтон смотрел на нее свысока. Как уже говорилось, Гальтон заметил, что результаты экзаменов следуют нормальному распределению. Больше всего людей получают средние оценки, и лишь немногие — очень высокие или очень низкие. Сам Гальтон, кстати, происходил из семьи, которая весьма заметно возвышалась над средним. Двоюродным братом ему приходился Чарльз Дарвин, с которым он регулярно обменивался научными идеями. Лет через десять после выхода книги Дарвина «О происхождении видов» Гальтон начал теоретизировать о способах управления человеческой эволюцией. Его интересовала передача гениальности по наследству, и он задавался вопросом о том, как можно было бы повысить уровень интеллекта населения в целом. Он стремился сдвинуть колоколообразную кривую вправо. С этой целью Гальтон предложил новую область исследований, направленных на «культивацию расы», то есть повышение интеллектуального потенциала населения посредством направленного разведения одаренных людей. Одно время он думал назвать свою новую науку «витикультурой» , от латинского «vita » — жизнь, но в конце концов остановился на «евгенике» — от греческого «eu» — хороший и «genos» — род. (Сегодняшнее значение слова «витикультура», относящееся к возделыванию винограда, происходит от «vitis» — лоза по-латыни — и восходит примерно к тому же самому времени.) Хотя немало либерально настроенных интеллектуалов в конце XIX и начале XX столетия поддерживали евгенику как способ улучшения общества, идея «разводить» более умных людей впоследствии претерпела значительные искажения и окончательно дискредитировала себя, когда в 1930-х годах евгеника стала синонимом бесчеловечной политики нацистов по созданию высшей арийской расы.