Антонио Лизана - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

Общее признание побудило Гаусса углубиться в астрономию, и он стал директором Гёттингенской обсерватории. Скорее всего, астрономические наблюдения отвлекли ученого от работы в области чистой математики, где было сложнее найти славу. Для математики определение орбиты Цереры может быть анекдотическим фактом, но метод, использованный для ее вычисления, существенно подтолкнул развитие науки. Это был метод наименьших квадратов. В этом случае большую важность имеет процесс, использованный для достижения результата, чем сам результат. Приписывание авторства этого метода Гауссу вызвало некоторую полемику, поскольку Адриен Мари Лежандр, который был на 25 лет старше Гаусса, также оспаривал первенство этого открытия. Соперничество с Лежандром длилось много лет и распространилось на многие области математики. Очень часто оказывалось, что если Лежандр утверждал, что открыл новую математическую истину, Гаусс опровергал это, аргументируя, что он знает ее и уже использовал этот результат. В письме Гаусса от 30 июля 1806 года коллеге-астроному по фамилии Шумахер, с которым их связывала большая дружба, ученый сетовал: «Похоже, что мне предназначено совпадать с Лежандром почти во всех своих теоретических работах». Такое соперничество встречалось очень часто и объяснялось методами работы и распространения результатов у ученых того времени. В течение всей своей жизни Гаусс упорно вступал в открытую борьбу за первенство своих открытий. И только после его смерти, когда были изучены все дневники и письма, стало ясно, что правда была на стороне Гаусса. В чем нет никаких сомнений, так это в том, что метод наименьших квадратов оказался очень полезным инструментом для разрешения многих проблем, в которых речь идет об установлении функции, наилучшим образом приближающейся к множеству данных с критерием минимизации. Наиболее важные примеры применения этого метода находятся в области статистики, где они достигают вершины в оценке параметров населения с помощью модели, построенной благодаря такому известному заключению, как теорема Гаусса — Маркова. Любопытно, что имя Гаусса в области статистики обычно связывают со знаменитым «гауссовым колоколом», однако на самом деле открытием нормального распределения мы обязаны Абрахаму де Муавру.

Гаусс очень рано подступился к так называемой основной теореме алгебры, в которой установлено, что у многочлена столько корней (то есть значений, при которых многочлен равен нулю), сколько показывает его степень. Эта проблема была темой диссертации ученого. В течение жизни он представил несколько доказательств этого результата, каждый раз все более утонченных и понятных. Как и в случае с открытием орбиты Цереры, во время поиска доказательств Гаусс выявил новые и очень полезные математические конструкции, такие как комплексные числа. В 1799 году ученый доказал, что основываясь на таком особом числе, как корень из -1 (или числе i), математики могут решить любое полиномиальное уравнение.

Числовой анализ и особенно изучение простых чисел, возможно, самая известная часть работы Гаусса, которой он посвятил больше всего времени. В молодости ученый получил в качестве подарка таблицу с несколькими миллиардами простых чисел. На его взгляд, эти числа шли беспорядочно. Когда Гаусс смотрел в числовые таблицы, он не мог определить никакого правила, которое показывало бы ему, на сколько единиц нужно продвинуться вперед, чтобы найти следующее простое число. Казалось, такого правила не существует. Гаусс не мог принять подобную идею: первичная потребность в жизни математика — это находить упорядоченные структуры, описывать и объяснять правила, лежащие в основе природы, и предвидеть, что произойдет в дальнейшем. Эта мысль, которая стала для него навязчивой, привела к формулировке некоторых великих гипотез распределения простых чисел и их нахождения с помощью математических процедур. Проблема нахождения простых чисел очень актуальна сегодня, поскольку на их свойствах основаны многие процессы шифрования информации.

С 1818 по 1832 год Гаусс руководил обширным проектом топографирования королевства Ганновер. Речь шла об огромной работе, включавшей, кроме научных, политические и военные составляющие. Гаусс не только являлся директором, но и участвовал в полевых работах, что отняло у него очень много времени, которое можно было посвятить математическим исследованиям более теоретического характера. С другой стороны, эта работа позволила Гауссу обнаружить новые типы геометрии, не основанные на аксиомах Евклида, и придать форму идеям, которые он вынашивал еще в студенческие годы. Работы по измерению Земли в рамках геодезии также дали ему возможность внести большой вклад в дифференциальную геометрию. В последние годы своей жизни, благодаря сотрудничеству с Вебером, ученый заинтересовался проблемами физики, особенно в области оптики, механики и электричества.

Влияние Гаусса на других математиков огромно: достаточно указать, что он был учителем Бернхарда Римана и Юлиуса Вильгельма Рихарда Дедекинда — великих математиков XIX века. Как уже было сказано ранее, он сделал значительный вклад во все области математики, как чистой, так и прикладной.

Кроме того, Гаусс занимает почетное место и среди физиков, поскольку его работы по магнетизму, оптике и геодезии входят в число самых значимых научных трудов той эпохи.

Все это свидетельствует о том, что титул короля математиков, полученный Гауссом посмертно и увековеченный по приказанию короля Георга V Ганноверского на памятной медали, не является преувеличением. По мнению математика и историка этой науки Эрика Темпла Белла, разделяемому большинством его коллег, Гаусс занимает на пьедестале великих математиков место рядом с Архимедом и Ньютоном.

1777В Брауншвейге, Германия, родился Карл Фридрих Гаусс, единственный сын Гебхарда Дитриха Гаусса и Доротеи Бенце.

1784Гаусс поступает в начальную школу в Брауншвейге. Его учителями становятся Бюттнер и Мартин Бартельс, которые видят способности мальчика и подвигают его их развивать.

1791Гаусс представлен герцогу Брауншвейгскому, который станет в дальнейшем его покровителем.

1795Гаусс оставляет Брауншвейг и поступает в Гёттингенский университет.

1796Открывает метод построения многоугольника с 17 сторонами с помощью линейки и циркуля. После этого успеха решает посвятить себя математике как основному занятию.

1799Представляет докторскую диссертацию в Хельмштедтском университете. В этой работе Гаусс предлагает первое доказательство основной теоремы алгебры.

1801Публикует «Арифметические исследования» — свой самый большой вклад в теорию чисел. В этой работе ученый собирает исследования прошлых лет, в том числе связанные с модульной арифметикой, посвященные комплексным числам и квадратичному закону взаимности. Определяет орбиту Цереры методом наименьших квадратов.

Читать дальше