Антонио Лизана - Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

В сотрудничестве со своим учителем Мартином Бартельсом молодой Гаусс получил новое доказательство бинома Ньютона с натуральными коэффициентами, то есть формулу, которая позволяет вычислить степень двучлена:

Это число сочетаний n по k, а n! = Π n i-1i называется факториалом числа, и он равен произведению этого числа на все натуральные числа меньше него.

Известна история, из которой видно, насколько легко давались Гауссу арифметические вычисления. Когда мальчику было девять лет, учитель Бюттнер предложил своим ученикам сложить сто первых натуральных чисел, будучи уверенным в том, что это займет класс достаточно долго, а он в это время сможет отдохнуть. Обычно ученики, решив задачу, вставали и клали доску с решением перед учителем. И вот в то время как остальные ученики едва приступили к заданию, Гаусс уже положил свою доску на стол учителя, воскликнув: Ligget se! («Вот оно!»). Бюттнер подумал, что Гаусс просто дерзит ему, но когда он посмотрел на доску, то обнаружил, что на ней записан правильный ответ — 5050, причем не было приведено ни одного этапа вычислений. Учитель подумал, что каким-то образом проговорился об ответе, но тут юный Карл объяснил ход своих рассуждений. Гаусс не стал решать проблему в лоб, просто складывая слагаемые (к тому же при этом легко было допустить ошибку), а предпочел нестандартный подход. Он быстро понял, что первое число (1) и последнее (100) в сумме дают то же самое значение (101), что второе число и предпоследнее, и это рассуждение можно продолжить, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 50 + 51 = 101. Образовались 50 пар чисел, которые в сумме давали 101 и произведение которых было равно 5050.

Гаусс, сам того не понимая, применил формулу суммы членов арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия — это ряд таких чисел, в котором разность между двумя любыми последовательными членами является постоянной, и эта величина называется разностью прогрессии, просто разностью или шагом. В проблеме, предложенной Гауссу, разность была равна 1. Выражение суммы арифметической прогрессии довольное простое: если члены нашей последовательности — это a 1а 2,..., а n, то сумма S nравна:

Если мы подставим в предыдущую формулу n= 100, то получим 5050, чего и следовало ожидать.

Доказательство формулы можно получить разными методами, одни из них интуитивны, например использование пар чисел с одинаковой суммой, как это сделал Гаусс, но в более формальном доказательстве обычно используется принцип индукции. Этот метод заключается в том, чтобы доказать, что натуральное число п обладает определенными свойствами, а затем обосновать, что если ими обладает любое натуральное число, то же происходит и со следующим.

Сила математического доказательства в том, что мы можем утверждать: эта формула верна для суммы любого ряда натуральных чисел. Если бы мы использовали для вычислений самые быстрые современные компьютеры и увидели бы, что формула выполняется, это не дало бы нам абсолютной уверенности: всегда можно было бы подумать, что остались числа, для которых наше утверждение не проверено, и с ними оно может не выполняться. В этом и заключается один из главных вкладов Гаусса в науку: утверждения должны иметь строгое доказательство. До его работ в математике было много созерцательного, утверждения основывались на конкретных примерах, существовали понятийные белые пятна и неполные доказательства. Однако Гаусс не публиковал свои работы, пока не получал как можно более строгого доказательства, при этом в своих записях он обычно не приводил полный ход рассуждений и этим затруднял их понимание для современников. Представление ученого о математических трудах требовало доведения их до совершенства, при этом он считал, что приведение подробных доказательств делает его работу не такой безупречной, ведь ее можно сравнить с демонстрацией готового здания, рядом с которым все еще стоят строительные леса, необходимые только на этапе строительства.

Принцип индукции, примененный к доказательству формулы суммы л натуральных чисел, имеет три следующие базовые предпосылки:

a) проверяем справедливость нашей гипотезы для n = 1;

b) предполагаем, что она верна для n - 1;

c) основываясь на «а» и «b», доказываем это для n.

Если нам удастся доказать «с», пользуясь «а» и «b», то утверждение верно для всех натуральных чисел. Идея состоит в том, что если утверждение справедливо для любого выбранного числа, то оно справедливо и для следующего, большего на единицу. Применим принцип индукции к формуле суммы первых n натуральных чисел:

Tn = n(n=1)/2.

a) Для n = 1 получается:

T1 = 1(1=1)/2 = 1

Утверждение верно.

b) Предположим, что для n - 1 сумма равна:

Tn-1 = (n-1)/2.

c) Сумма Тn = Т n-1+ n, так что, применяя «b», получаем:

T n= (n-1)n/2 + n = (n-1)n/2 + 2n/2 = ((n-1)n + 2n)/2 = (n²-n+2n)/2 = (n²+n)/2 = n(n+1)/2.

что завершает доказательство.

История о сумме 100 первых натуральных чисел и общая формула, которую мы доказали, необходимы для введения в тему, которой Гаусс посвятил много времени в молодости. Итак, поговорим о треугольных числах. Британский математик Маркус дю Сотой включил в свою книгу «Музыка простых чисел» (2003) новое доказательство способа, которым Гаусс получил результат 5050, используя треугольные числа.

Треугольное число — это число, количество единиц которого может быть представлено в форме равностороннего треугольника (по умолчанию было решено, что первое треугольное число — 1). Понятие треугольного числа было введено Пифагором, который изучил некоторые их свойства (пифагорейцев очень интересовали эстетические свойства чисел). На рисунке показаны шесть первых треугольных чисел.

Если внимательно посмотреть на первые треугольные числа, можно увидеть, что они совпадают со значением ряда T nсуммы п первых натуральных чисел. Очевидно, что это не случайность, поскольку при построении треугольного числа в каждом ряду на один элемент больше, чем в предыдущем, и первый ряд начинается с 1. Следовательно, узнать, является ли какое-либо число треугольным, равносильно тому, чтобы проверить, совпадает ли это число со значением T nдля некоторого n. Итак, каждое треугольное число T nопределяется следующей формулой: