Gustavo Pineiro - У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

В своей работе Principia Mathematica ("Принципы математики") Бертран Рассел утверждал, что все известные парадоксы всегда порождаются самореференцией. То есть они возникают из-за того, что в высказываниях прямо или косвенно говорится о них самих. Способ избежать любого парадокса, говорил Рассел, — исключить из языка любой намек на самореференцию. В семантическом самореферентном высказывании говорится о семантической характеристике как таковой. Таков случай "это предложение ложно", то есть утверждение, вызывающее парадокс лжеца. В синтаксической самореференции, наоборот, в самореферентном высказывании говорится о синтаксической характеристике как таковой. Например: "в этом предложении пять слов". Семантическая самореференция, как говорил Рассел, всегда опасна и подводит нас к границе парадокса. Синтаксическая самореференция, наоборот, не несет в себе никакого риска. Почему? Потому что синтаксическая самореференция иллюзорна; кажется, что в предложении говорится о нем самом, но на самом деле здесь раздвоение: в значении предложения говорится не о нем самом, а о символах, которые его образуют. Когда мы говорим: "в этом предложении пять слов", мы имеем в виду:

"В предложении "в этом предложении пять слов" содержится пять слов".

Отрицание этого:

"В предложении "в этом предложении пять слов" содержится не пять слов".

Мы говорим о символах, а не о смысле, так что нет риска получить парадокс. В высказывании Гёделя G утверждается, что оно недоказуемо, то есть речь идет о синтаксической характеристике себя самого. Так как самореференция синтаксическая, рассуждения на основе G никогда не приведут нас к парадоксу.

Другое важное понятие для синтаксической формулировки первой теоремы о неполноте — это понятие непротиворечивости. Множество аксиом является непротиворечивым, если не существует ни одного высказывания Р такого, чтобы Р и не-Р были одновременно доказуемы на основе этих аксиом (с синтаксической точки зрения не-Р получается простым размещением слева от Р символа, обозначающего отрицание).

Хотя далее мы увидим, какая связь существует между тем, чтобы быть "непротиворечивым" и быть "истинным", очевидно, что непротиворечивость — это чисто синтаксическое понятие (поскольку зависит от синтаксического понятия доказуемости).

Если все аксиомы — истинные высказывания, то множество аксиом непротиворечиво. Действительно, из истинных предпосылок получаются только истинные выводы. Тогда только одно из высказываний Р и не-Р ложно; следовательно, если все аксиомы истинны, невозможно, чтобы Р и не-Р были доказуемы одновременно (ложное не будет доказуемым).

Значит ли это, что выражение "непротиворечивое множество аксиом" равносильно "множеству истинных аксиом"? Это тонкий вопрос, который заслуживает тщательного анализа.

Начнем с вопроса, является ли высказывание "2 — простое число" истинным. Почти любой человек сразу же скажет, что его истинность очевидна. Однако более правильным ответом будет "когда как". Это зависит от Вселенной, в контексте которой мы сейчас работаем. Если подразумевается, что речь идет о натуральных числах, то высказывание действительно истинно, но в другом контексте оно может быть ложным.

Вспомним, что число (отличное от единицы) является простым, если делится только на единицу и само на себя. Можно выразить это понятие по-другому: 2 — простое число, поскольку единственный способ представить его в виде произведения двух чисел тривиален: 2 = 2 x 1 (запись 2 = 1 x 2 считается совпадающей с ней, так как в ней используются те же числа). А вот число 15 не является простым, поскольку его можно представить, помимо тривиального способа 15 = 1 х 15, также как 15 = = 3 x 5.

Но точно ли единственный способ записать число 2 в виде произведения — это 2 = 2 х 1? В мире натуральных чисел — да. Но существуют и другие миры.

Расширим наш числовой мир и включим в него все числа, которые получаются умножением √2 на натуральное число (и на нуль), а затем прибавлением другого натурального числа (или нуля). Например, этот мир содержит числа 3 + 4 √2 или 7 √2. Также в нем содержится само число √2, которое записывается как 0+1 √2, и все натуральные числа, которые могут быть записаны как:

1 = 1 + 0 √2

2 = 2 + 0 √2

3 = 3 + 0 √2.

Итак, в этом мире 2 — не простое число, поскольку может быть записано как 2 = √2 х √2. Высказывание "2 — простое число" верно среди натуральных чисел, но ложно в мире, который мы определили по-другому (см. схему).

Какова связь между непротиворечивостью и истинностью? Ответ дан теоремой Лёвенгейма — Скулема (доказанной в 1915 году Леопольдом Лёвенгеймом для частного случая и в 1920 году Туральфом Скулемом для общего случая): множество аксиом является непротиворечивым, если существует какой-нибудь мир, в котором все аксиомы являются истинными высказываниями. Следовательно, множество, образованное двумя аксиомами:

непротиворечиво, поскольку существует мир, в котором обе аксиомы одновременно истинны. С синтаксической точки зрения это означает, что не существует такого высказывания Р, что Р и не-Р доказуемы на основе этих двух предпосылок одновременно.

Для любого х справедливо, что х + 0 = х; 2 не является простым числом

Но можем ли мы принять "2 не является простым числом" за аксиому? Не должны ли аксиомы быть очевидными сами по себе? В чисто синтаксическом мире, в котором истинности и ложности не существует, нет смысла говорить об очевидных высказываниях. Любое из них может быть взято за аксиому. Почему основополагающей является непротиворечивость? Что произойдет, если множество аксиом будет противоречивым? С семантической точки зрения это означает, что нет ни одного возможного мира, в котором все высказывания одновременно истинны. Но у противоречивости системы аксиом есть и синтаксическое следствие, поскольку если множество аксиом противоречиво, то на его основе можно доказать любое высказывание.

Предположим, что существует некое высказывание Р такое, что множество аксиом позволяет доказать как Р, так и не-Р, и возьмем любое высказывание Q. Мы хотим доказать, что Q доказуемо. Для этого вспомним несколько правил логики:

а) из "Р" всегда выводится "не-Q => Р";

б) из "не-Q => Р" выводится "не-Р => Q";

в) из "Р" и "Р ^ Q" выводится "Q" (это правило вывода, modus ponens).

Заметим, что все они сформулированы синтаксически и апеллируют к форме высказываний, а не к их значению. Предположим, как мы сказали, что Р и не-Р доказуемы. Получается следующее.