Альфред Тарский - Семантическая концепция истины и основания семантики

Каждое предложение является не (само)применимым.

Легко показать, что сформулированное предложение должно быть и (само)применимым и не(само)применимым, следовательно, мы пришли к противоречию. Быть может, не вполне ясно, в каком смысле эта формулировка антиномии не включает эмпирической посылки, однако я не буду останавливаться на этом вопросе.

Термины логика и логический в данной статье употребляются в самом широком смысле, который в последние десятилетия стал почти традиционным. Логика понимается здесь как охватывающая всю теорию классов и отношений (т. е. математическую теорию множеств). Лично я по многим причинам предпочитаю употреблять термин логика в более узком смысле, включающим в себя только то, что иногда называют элементарной логикой, т. е. пропозициональное исчисление и (узкое) исчисление предикатов.

Однако см. к этому работу: Tarski A. (1936), р. 5.

Метод построения, который мы собираемся обрисовать, с соответствующими изменениями применим ко всем формализованным языкам, известным в настоящее время. Из этого не следует, правда, что нельзя создать язык, к которому данный метод будет применим.

При осуществлении этой идеи возникает определенная техническая трудность. Пропозициональная функция может содержать произвольное число свободных переменных, а логическая природа понятия выполнимости изменяется в зависимости от этого числа. Когда речь идет о функциях с одной переменной, то обсуждаемое понятие является бинарным отношением между этими функциями и единичными объектами; для функций с двумя переменными оно становится тернарным отношением между функциями и парами объектов и т. д. Таким образом, мы имеем дело, строго говоря, не с одним понятием выполнимости, а с бесконечным множеством таких понятий, и оказывается, что эти понятия не могут быть определены независимо одно от другого и все должны вводиться одновременно.

Для преодоления этой трудности мы используем математическое понятие бесконечной последовательности (или, может быть, конечной последовательности с произвольным числом терминов). Мы договариваемся рассматривать выполнимость не как многоместное отношение между пропозициональными функциями и бесконечным числом объектов,как бинарное отношение между функциями и последовательностями объектов. При таком допущении формулировка общего и точного определения выполнимости больше не представляет никаких трудностей. Теперь истинное предложение можно определить как предложение, которое выполняется каждой последовательностью.

Для того чтобы рекурсивно определить понятие выполнимости, мы должны использовать определенную форму рекурсивного определения, не разрешенную в объектном языке. Поэтому существенное богатство мета-языка может заключаться просто в наличии этого типа определения, С другой стороны, известен общий метод, позволяющий устранить все рекурсивные определения и заменить их обычными, явными определениями. Когда мы пытаемся применить этот метод к определению выполнимости, мы видим, что должны либо ввести в мета-язык переменные более высокого логического типа, чем переменные объектного языка, либо задать аксиоматически в мета-языке существование классов, более широких по объему, чем все те классы, существование которых может быть установлено в объектном языке. (См. работы: Tarski А. (1935), р. 393; Tar-ski A. (1939), р. 110)

Благодаря развитию современной логики понятие математического доказательства подверглось серьезному упрощению. Предложение данной формализованной дисциплины доказуемо, если оно может быть получено из аксиом этой дисциплины с помощью определенных простых и чисто формальных правил вывода, таких, например, как правило отделения и подстановки. Таким образом, чтобы показать, что все доказуемые предложения истинны, достаточно доказать, что все предложения, принятые в качестве аксиом, истинны и что правила вывода, применяемые к истинным предложениям, вновь приводят к истинным предложениям. Обычно это не представляет трудностей.

С другой стороны, вследствие элементарной природы понятия доказуемости его точное определение требует лишь простых логических средств. В большинстве случаев такие логические средств имеются в самой формализованной дисциплине (к которой относится понятие доказуемости). Однако нам известно, что в отношении определения истины дело обстоит иначе. Поэтому, как правило, понятия истины и доказуемости не могут совпадать, а так как каждое доказуемое предложение истинно, должны существовать истинные предложения, которые недоказуемы.

Таким образом, теория истины дает нам общий метод доказательства непротиворечивости для формализованных математических дисциплин. Однако нетрудно понять, что доказательство непротиворечивости, полученное этим методом, может обладать некоторой интуитивной ценностью, т. е. увеличивать нашу веру в то, что рассматриваемая дисциплина действительно непротиворечива только в том случае, если нам удалось дать определение истины в терминах мета-языка, не содержащего объектный язык в качестве своей части (см. замечание в разделе 9) Только в этом случае дедуктивные допущения мета-языка могут быть интуитивно проще и более очевидны, чем допущения объектного языка, хотя условие существенного богатства будет формально выполнено. (См. к этому также работу: Tarski А. (1936), р. 7).

Неполнота обширного класса формализованных дисциплин является существенным содержанием фундаментальной теоремы К. Гёделя (см. работу: Godel К. (1931), р. 187ff). Объяснение того факта, что теория истины прямо приводит к теореме Гёделя, является достаточно простым, При выводе результата Гёделя из теории истины для нас существенно то, что определение истины нельзя дать в мета-языке, который столь же богат, как объектный язык (см. сноску 19). Однако при обосновании этого используется метод рассуждения, очень тесно связанный с тем, который (в первый раз) использовал Гёдель. Можно добавить, что в своем доказательстве Гёдель очевидно руководствовался некоторыми интуитивными соображениями, связанными с понятием истины, хотя в явном виде это понятие в его доказательстве не встречается (см.: Godel К. (1931), р. 174).

Понятия обозначения и определения приводят, соответственно, к антиномиям Греллинга-Нельсона и Ришара (см. сноску 11). Чтобы получить антиномию для понятия выполнимости, мы строим следующее выражение:

Пропозициональная функция Х не выполняет X .

Противоречие возникает при рассмотрении вопроса о том, выполняет ли это выражение, которое очевидно является пропозициональной функцией, само себя или нет.