Юрий Ревич - Занимательная микроэлектроника

Основной принцип оцифровки любых сигналов очень прост и показан на рис. 10.1, а . В некоторые моменты времени t 1, t 2, t 3мы берем мгновенное значение аналогового сигнала и как бы прикладываем к нему некоторую меру, линейку, проградуированную в двоичном масштабе. Обычная линейка у нас содержит крупные деления (метры), поделенные каждое на десять частей (дециметры), каждая из которых также поделена на десять частей (сантиметры), и т. д. Двоичная линейка содержала бы деления, поделенные пополам, затем еще раз пополам и т. д. — сколько хватит разрешающей способности. Если вся длина такой линейки составляет, допустим, 2,56 метра, а самое мелкое деление 1 см (т. е. мы можем померить ей длину с точностью не хуже 1 см, точнее, даже половины его), то таких делений будет ровно 256 и их можно представить двоичным числом размером 1 байт или 8 двоичных разрядов.

Рис. 10.1. Оцифровка аналоговых сигналов:

а— основной принцип; б— к теореме Котельникова-Найквиста

Ничего не изменится, если мы меряем не длину, а напряжение или сопротивление, только смысл понятия «линейка» будет несколько иной. Так мы получаем последовательные отсчеты величины сигнала x 1, x 2, x 3. Причем заметьте, что при выбранной разрешающей способности и числе разрядов мы можем померить аналоговую величину не больше некоторого значения, которое соответствует выбранному масштабу. Иначе придется или увеличивать число разрядов (длину линейки), или менять разрешающую способность в сторону ухудшения (растягивать линейку). Все изложенное и есть сущность работы аналого-цифрового преобразователя (АЦП).

На рис. 10.1, а график демонстрирует этот процесс во времени. Если мы меряем какую-то меняющуюся во времени величину, то приходится производить измерения регулярно. Если стоит задача потом восстановить первоначальный сигнал, то эти измерения удобно проводить со строго равными промежутками времени между ними — иначе нам будет трудно узнать, какому измерению какой момент сигнала соответствует. Получаем массив чисел, который и представляет наш исходный сигнал в цифровом виде. Зная частоту дискретизации (частоту оцифровки) и принятый масштаб (т. е. какому значению физической величины соответствует максимальное число в принятом диапазоне двоичных чисел), мы всегда можем восстановить исходный сигнал, просто отложив точки на графике и соединив их плавной линией.

Но что-то мы при этом теряем? Посмотрите на рис. 10.1, б , который иллюстрирует знаменитую теорему Котельникова (как водится, за рубежом она носит другое имя — Найквиста, на самом деле они оба придумали ее независимо друг от друга). На этом рисунке показана синусоида предельной частоты, которую мы еще можем восстановить, располагая массивом точек, полученных с частотой дискретизации f д. Так как в выражении для синуса A ∙sin(2π ft ) имеется два независимых коэффициента ( А — амплитуда и f — частота), то для того, чтобы вид кривой восстановить однозначно, нужно как минимум две точки на каждый период (если сами параметры синусоиды А и f не меняются во времени, то достаточно вообще двух точек на всем интервале времени; именно такой случай показан на графике рис. 10.1, б ), т. е. частота оцифровки должна быть как минимум в два раза больше, чем самая высокая частота в спектре исходного аналогового сигнала . Это и есть теорема Котельникова — Найквиста.

Попробуйте сами нарисовать другую синусоиду без сдвига по фазе, проходящую через указанные на графике точки, и вы убедитесь, что это невозможно. В то же время можно нарисовать сколько угодно разных синусоид, проходящих через эти точки, если их частота в целое число раз выше частоты дискретизации f д. В сумме эти синусоиды, или гармоники (т. е. члены разложения сигнала в ряд Фурье), дадут сигнал любой сложной формы, но восстановить их нельзя, и если такие гармоники присутствуют в исходном сигнале, то они пропадут навсегда. Следовательно, процесс оцифровки равносилен действию ФНЧ с прямоугольным срезом характеристики на частоте, равной ровно половине частоты дискретизации .

Займемся обратным преобразованием. В сущности, никакого преобразования цифра— аналог в цифроаналоговых преобразователях (ЦАП), которые мы будем здесь рассматривать, на самом деле не происходит: просто мы выражаем двоичное число в виде пропорциональной величины напряжения, т. е. занимаемся, с точки зрения теории, всего лишь преобразованием масштабов и физическим моделированием абстрактной величины — числа. Вся аналоговая шкала поделена на кванты — градации, соответствующие разрешающей способности нашей двоичной «линейки». Если максимальное значение сигнала равно, к примеру, 2,56 В, то при восьмиразрядном коде мы получим квант в 10 мВ, и что происходит с сигналом между этими значениями, и в промежутки времени между отсчетами, мы не знаем и узнать не можем.

Если взять ряд последовательных отсчетов некоего сигнала, (например, как на рис. 10.1, a ), то мы в результате получим ступенчатую картину (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Восстановление оцифрованного сигнала с рис. 10.1, а

Если вы сравните графики на рис. 10.1, а и 10.2, то увидите, что второй график представляет первый, мягко говоря, весьма приблизительно. Для того чтобы повысить степень достоверности полученной кривой, следует, во-первых, брать отсчеты почаще, во-вторых, увеличивать разрядность. Тогда ступеньки будут все становиться меньше и меньше, и есть надежда, что при некотором достаточно высоком разрешении, как по времени, так и по уровню, кривая станет, в конце концов, неотличима от непрерывной аналоговой линии. Есть и еще один способ получения гладкой кривой — пропустить полученный сигнал через ФНЧ, в результате чего ступеньки сгладятся. (Практически это равносильно вычислению промежуточных значений методом интерполяции, считая, что от отсчета к отсчету кривая меняется по линейному или какому-нибудь еще закону.) Конечно, ФНЧ — это лишь грубая полумера, и увеличения разрядности и частоты отсчетов не заменяет.

Все изложенное касается дискретизации аналоговых сигналов во времени. Но здесь нас будет больше занимать не временной ряд оцифрованных сигналов, а получение каждого отдельного значения этого ряда — как же реализовать на практике упомянутую ранее двоичную линейку?

Начнем мы с конца, т. е. с цифроаналоговых преобразователей. Будем считать, что на входе мы имеем числа в двоичной форме — неважно, результат оцифровки сигнала или синтезированный код. Нам его нужно преобразовать в аналоговый уровень напряжения в соответствии с выбранным масштабом.