Нурали Латыпов - Инженерная эвристика

Так вот «отношение» в данном контексте — это слово из метаязыка. Иначе говоря, в данном случае оно не принадлежит самой математике (геометрии), а принадлежит русскому языку.

Хотя известно, что есть раздел математики «исчисление отношений». Здесь отношение становится уже математическим объектом. Если можно так выразиться, исчисление отношений занимается отношениями между отношениями!

С. Ёлкин.Скажите, если я начну вводить понятия геометрии на таукитянском языке, то вы поймёте и сможете развивать геометрию? Не будем затягивать, ответ очевиден… Нет!

То есть вам для формулировки строгой и однозначной математики нужен хоть какой-то, но язык, а он не может быть точным и строгим по своей природе. Отсюда считаю, что доказал утверждение Жубера об исчезновении аксиом. Либо аксиомы неоднозначны и нестроги, либо они лишены содержания. А вещь без содержания ничто.

Очень похоже на теорему К. Гёделя: «Либо математика не полна, либо противоречива». Для доказательства очевидной вещи Курт Гёдель написал том страниц на триста, а в конце концов всё равно использовал парадоксальное утверждение: «я (теорема) недоказуема».

А. Трушечкин.Метод математики: отгородиться от нестрогого естественного языка, создав (на этом языке) специфический узкий язык со строгими правилами и запретив дальнейшее примешивание нашего языка к математическим рассуждениям.

Жубер, с которого начался диспут, в сущности, сказал не то, что наш язык неоднозначен (это очевидно), а то, что если бы он был однозначным, мы бы лишились не только поэзии и эстетики, но даже и аксиом. Вопрос, как я понимаю, в том, смогли ли бы мы сформулировать аксиомы, если бы наш язык был однозначным? Например, писать стихи точно не смогли бы. Моё предположение: если б наш язык был однозначным, в аксиомах бы, возможно, не было нужды. Поэтому бы их и не было.

Гёделю как раз и потребовалось триста страниц, чтобы математически сформулировать теорему, утверждающую о собственной недоказуемости, доказать, что такая теорема в самом деле существует.

Пока мы пришли к выводу, что для формулировки аксиом, мы уже должны обладать нашим языком, который по своей природе неточный (иначе не было бы нужды в математическом подходе). И есть разница в утверждениях: «аксиомы неоднозначны и нестроги» и «аксиомы сформулированы на языке, который в принципе (!) допускает неоднозначность и нестрогость».

Если русский язык допускает нестрогость в принципе, это не значит, что она присутствует в любой фразе. Когда я говорю: «Я иду обедать», то здесь всё однозначно (по крайней мере, если есть соглашение о контексте). Также и с аксиомами: они вводят понятия, с которыми мы будем работать, и правила работы с ними. Сформулированы они однозначно, несмотря на то, что в других ситуациях язык может быть неоднозначным. Скажем так, русский (и любой другой естественный) язык — очень богатый, он обычно работает в «неоднозначном режиме», но допускает и специальный «однозначный режим». Математика — это и есть этот «однозначный режим».

С. Ёлкин.Что такое «специальный режим для русского языка»? Ни в одной книжке по лингвистике я не обнаружил какого-то особенного специального режима для русского или иного языков.

Уменьшение количества толкований слова или предложения или фразы задаётся, как вы сказали, контекстом. Контекст [103] Здесь нашего читателя следует вернуть к разделу «Различение и неразличённость контекста». — штука плохо формализуемая, в противном случае задача машинного перевода была бы решена.

Например, фраза, которая долго висела на рекламных баннерах: «Время есть». Что это? «Время идти принимать пищу» или «ещё осталось немного времени»? Я задал контекст, уточняя в вопросе эту фразу. Но как я это сделал? Если изменить фразу: «Время поесть», то ясно, что пора покушать. Казалось бы, неоднозначность исчезла! Как бы не так! Кому пора, где пора, почему пора и т. д. поесть? Ответа нет. Нет и однозначности. Теперь к аксиоме. Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых. Где эта точка? Что за прямые? Кто может осуществить эту возможность и провести бесконечное множество прямых? Да и про какую геометрию вы вообще говорите? У одного Гильберта аксиом геометрии, если мне не изменяет память, двенадцать! Значит, эта аксиома допустима в очень большом числе возможных геометрий!

А. Трушечкин.Когда мы формулируем аксиомы, мы не интересуемся этими вопросами. Вот есть точка, а есть прямая, между ними существует определённое отношение, при обращении с этими тремя объектами надо соблюдать определённые правила. Сами правила сформулированы чётко. В этом смысле аксиомы чёткие и однозначные.

А откуда они взялись, что они означают, кто их может осуществить, где это всё находится и т. д. и т. п. — от этих вопросов мы абстрагируемся. От вопроса, какие ещё могут быть аксиомы, мы пока тоже абстрагировались. Сформулировали правила, с ними и работаем, а что можно было ещё массу разных правил придумать — это понятно. Но мы работаем с данными правилами.

Ещё пара замечаний. Можно провести аналогию между аксиоматическими системами и правилами, например, шахмат или шашек. Правила сформулированы на естественном языке, но тем не менее, правила однозначны.

Спрашивать: «Где эта точка? Что за прямые? Кто может осуществить эту возможность и провести бесконечное множество прямых?» — это всё равно, что в шахматах спрашивать: «Как мы прокормим коня?» А ещё лучше — целого слона! Мы не имеем права задавать вопросы, выходящие за пределы тех объектов и отношений между ними, которые зафиксированы в правилах.

В доказательство того, что шахматные правила сформулированы однозначно — я ни разу не слышал, чтоб на шахматных соревнованиях возникали вопросы, как можно ходить, а как нельзя! Да, обсуждаема неоднозначность, связанная с необходимостью записывать партию. Но это неоднозначность не шахматных правил, а правил проведения шахматных турниров, эти правила относятся уже к людям, а не к фигурам. По самим же шахматным правилам, то есть по вопросам, какие ходы на доске делать можно, а какие нет, как определяется победитель, исходя из позиции на доске, двузначностей никогда не возникало.

Так же и в математике: никогда не слышал, чтобы кто-то интерпретировал ту или иную аксиому двояко! Математики выясняют, является ли та или иная аксиоматика полной, непротиворечивой, независимой, разрешимой, но никогда не слышал, чтобы они обсуждали, как надо понимать какую-то отдельную аксиому! Так что аксиомы сформулированы однозначно.

А то, что существует множество геометрий — это аналог тому, что существует множество вариантов игры в шашки (включая «чапаевцев», когда шашки сбиваются с поля щелчком). Шашки и доска одни и те же (если не считать стоклеточных шашек), а правила могут быть разные. Но если мы зафиксировали правила, по которым мы играем, то всё однозначно.