Джеффри Уэст - Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний

Закон Ципфа назван по имени гарвардского лингвиста Джорджа Кингсли Ципфа, который популяризовал его в своей книге «Человеческое поведение и принцип наименьшего усилия», опубликованной в 1949 г. [131]. Впервые он сформулировал свой закон в 1935 г., в применении не к городам, а к частоте употребления слов в языках. В исходной формулировке этот закон утверждал, что частота появления любого слова в корпусе письменного текста, например в полном собрании пьес Шекспира или в Библии – или даже в этой книге, обратно пропорциональна его рейтингу в таблице частотности. Так, наиболее часто встречающееся слово используется приблизительно в два раза чаще, чем второе по частотности, в три раза чаще, чем третье, и так далее, как показано на рис. 40. Например, анализ текстов на английском языке показывает, что самое частое слово – это, что неудивительно, определенный артикль the , на долю которого приходится около 7 % всех используемых слов. Второе место занимает предлог родительного падежа of , частота появления которого приблизительно в два раза меньше и составляет около 3,5 % всех слов, а за ним следует союз and , частота употребления которого меньше приблизительно в три раза, а именно близка к 2,3 %, – и так далее [132].

Еще более загадочно то, что тот же самый закон оказывается справедливым для поразительно широкого спектра примеров, в который входят распределения по размерам морских судов, деревьев и элементарных частиц, метеоритов, нефтяных месторождений, файлов, передаваемых через интернет, и многого другого. На рис. 41 показано, как подчиняется этому закону распределение размеров компаний. Удивительная универсальность закона Ципфа и некоторые из его следствий привели к тому, что многие исследователи и авторы научных работ, воображение которых поразила его ошеломляющая простота, стали находить в нем некие мистические свойства. И сам Ципф, и многие последующие ученые размышляли о происхождении этого закона, но никакого общепринятого объяснения его существования так до сих пор и не появилось.

Рис. 39. Рейтинг городов США по размерам: по вертикальной оси отложен рейтинг городов, а по горизонтальной – численность их населения. Отметим, что на обоих графиках на этой странице имеются большие отклонения для точек с наибольшим рейтингом (слова the и города Нью-Йорка)

Рис. 40. Закон Ципфа для частотного распределения слов в английском языке: по вертикальной оси отложена частота употребления слов, а по горизонтальной – их рейтинг

Рис. 41. Распределение американских компаний по размерам: по вертикальной оси отложен рейтинг компаний, а по горизонтальной – их размер (число сотрудников)

В экономике закон Ципфа появился на самом деле еще до Ципфа [133]. Он был открыт задолго до него авторитетным итальянским экономистом по имени Вильфредо Парето, который выразил его в виде частотного распределения доходов населения, а не их рейтингов. Это распределение, действующее для многих экономических параметров – например, уровня доходов, размеров состояний или величины компаний, – подчиняется простому степенному закону с показателем около –2. Если представить его в виде рейтинга, оно соответствует закону Ципфа. Оно выражает в численном виде тот вполне очевидный экономический факт, что существует крайне мало очень богатых людей или очень крупных организаций, но чрезвычайно много, соответственно, чрезвычайно бедных и чрезвычайно мелких. Закон Парето – или принцип Парето – зачастую сводят к так называемому правилу 80/20, согласно которому богатейшие 20 % населения получают 80 % суммарных доходов, что приблизительно соответствует действительности во всем мире. Аналогичным образом, примерно 80 % доходов компании поступают от 20 % ее клиентов, так же как и 80 % жалоб. Такая асимметричная ситуация, в которой существует лишь чрезвычайно малое число очень крупных образований и чрезвычайно большое число очень мелких, характерна для закона Ципфа. Например, чтобы понять 80 % литературы, требуется лишь около 20 % содержания словаря, а около 80 % населения проживает в 20 % крупнейших городов. Все точки, расположенные между этими крайними участками, приблизительно соответствуют обратно пропорциональной зависимости степенного закона.

Несмотря на общность «законов» Ципфа и Парето, часто встречаются и большие отклонения от них, и было бы наивно считать, что существует некий неизменный универсальный принцип, который точно определяет природу этих частотных определений, не рассматривая их в гораздо более широком контексте многих других динамических процессов. Например, одного лишь знания того, что размеры городов в городской системе следуют схеме Ципфа, вряд ли достаточно для разработки всеобъемлющей принципиальной теории городов. Как минимум, для этого требуется знание не только частотного распределения размеров, но и всех остальных законов масштабирования, о которых я уже говорил, описывающих весь спектр городской жизни, охватывающих в том числе потоки энергетических, материальных и информационных ресурсов. Хотя эти распределения и впрямь очень интересны, я склонен приписывать им гораздо более скромную роль, считая их лишь одним из множества феноменологических законов масштабирования, не обладающим каким-либо особым фундаментальным значением.

Тем не менее тот факт, что распределения, подобные закону Ципфа, встречаются в столь разнообразных явлениях, заставляет предположить, что они выражают некое общее системное свойство, не зависящее от характера и деталей динамического поведения той или иной системы. Они напоминают повсеместную универсальность «колоколообразного» распределения, которое используют для описания статистических вариаций вокруг некоторого среднего значения. Это распределение, называющееся на профессиональном языке гауссовым или нормальным, возникает из математических свойств случайного распределения любых некоррелированных друг с другом и независимых друг от друга событий или объектов, какова бы ни была их природа. Например, средний рост мужчин в США равен 1,77 м, и частотное распределение роста мужчин вокруг этого среднего значения – то есть распределение числа мужчин, имеющих определенный рост, – хорошо согласуется с гауссовым распределением. Отсюда можно узнать, какова вероятность того, что отдельный человек будет того или иного роста. Гауссова статистика используется во всех отраслях науки, техники, экономики и финансов для определения статистической вероятности определенных событий – например, в прогнозах погоды или обработки результатов предвыборных опросов. Однако иногда забывают, что такие оценки вероятности основаны на предположении о том, что отдельные события, будь то при сравнении сегодняшней температуры воздуха с историческими данными или сравнении роста одного человека с ростом другого, независимы друг от друга и, следовательно, могут считаться некоррелированными.