Джеффри Уэст - Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний

Чтобы избежать такого потенциального затруднения и минимизировать работу, которую должно выполнять сердце, геометрия нашей системы кровообращения эволюционировала до такого состояния, в котором ни в одной точке разветвления сети не происходит никакого отражения. Математические и физические принципы получения такого состояния довольно сложны, но вытекающий из них результат прост и изящен: теория предсказывает, что в точке разветвления не возникает отражения, если сумма площадей поперечного сечения дочерних каналов, выходящих из разветвления, точно равна площади поперечного сечения исходного канала, разветвляющегося в нем .

Например, рассмотрим простой случай, в котором две дочерние трубки одинаковы и, следовательно, имеют одинаковое поперечное сечение (что приблизительно так и есть в реальных системах циркуляции). Пусть площадь поперечного сечения исходной трубки равна 2 см². Тогда, чтобы обеспечить отсутствие отражений, площадь поперечного сечения каждой из дочерних трубок должна быть равна 1 см². Поскольку площадь поперечного сечения любого сосуда пропорциональна квадрату его радиуса, тот же результат также можно сформулировать следующим образом: квадрат радиуса исходной трубки должен быть равен удвоенному квадрату радиуса каждой из дочерних трубок. Итак, чтобы исключить потери энергии на отражения, возникающие при движении по сети, радиусы последовательно расположенных сосудов должны масштабироваться регулярным самоподобным образом, уменьшаясь на каждом разветвлении в постоянное число раз, равное квадратному корню из двух (√2) .

И действительно, наша сосудистая система организована именно по этому принципу, так называемого ветвления с сохранением площади. Это подтверждают многочисленные измерения, произведенные у множества разных млекопитающих – а также множества разных деревьев и других растений. Это обстоятельство на первый взгляд кажется удивительным, поскольку у растений нет сердцебиения – по их сосудистой системе идет постоянный, непульсирующий ток, – и тем не менее масштабирование их сосудов совершенно аналогично тому, что мы видим в системах пульсирующей циркуляции. Однако если представить себе дерево в виде пучка тесно объединенных волокон, начинающихся в стволе и последовательно расходящихся по всем его ветвям, становится ясно, что по всей этой иерархии необходимо сохранять неизменной суммарную площадь поперечного сечения. Приведенная ниже иллюстрация позволяет сравнить структуру такого пучка волокон с трубчатой структурой сосудов млекопитающих. Одно из интересных последствий ветвления с сохранением площади состоит в том, что площадь поперечного сечения ствола равна сумме площадей поперечного сечения всех мелких веток, которыми заканчивается сеть (черешков). Как это ни удивительно, это было известно Леонардо да Винчи. Соответствующая страница его дневников, на которой он демонстрирует этот факт, также приведена на иллюстрации.

Схема иерархической структуры трубчатых сосудов млекопитающих (слева) и волоконного пучка сосудистой системы растений (справа). Последовательное «развертывание» волокон образует физическую структуру ветвей. В обоих случаях суммарная площадь поперечных сечений на любом уровне ветвления остается постоянной во всей сети

Страница из дневников Леонардо да Винчи, демонстрирующая, что он понимал принцип сохранения площади в ветвлении деревьев

Хотя этот простой геометрический рисунок показывает, почему деревья подчиняются принципу ветвления с сохранением площади, на самом деле он дает упрощенную картину. Однако правило сохранения площади можно вывести и из гораздо более реалистичной модели с использованием сформулированных выше общих принципов устройства сетей, заполнения пространства и оптимизации, в сочетании с биомеханическими ограничениями, требующими, чтобы ветви могли выдерживать колебания, вызванные ветром, не ломаясь. Такой анализ показывает, что, несмотря на совершенно другую физическую конструкцию, деревья и другие растения, как отдельные особи, так и разные виды, почти во всех отношениях подобны млекопитающим в том, что касается степенного закона масштабирования уровня метаболизма с показателем ¾ [58] G. B. West, J. H. Brown and B. J. Enquist . A General Model for the Structure and Allometry of Plant Vascular Systems // Nature. 1999. 400. P. 664–667. .

Приятно сознавать, что оптимальная конструкция нашей сердечно-сосудистой системы подчиняется тем же простым правилам ветвления с сохранением площади, что и деревья и другие растения. Но не меньшее удовлетворение приносит и тот факт, что условие отсутствия отражений волн в точках ветвления, по сути дела, идентично принципам проектирования сетей электропередачи, которые разрабатывают с прицелом на повышение эффективности передачи электроэнергии на большие расстояния.

Это условие отсутствия отражений называют согласованием импедансов . Этот принцип имеет многочисленные применения не только в работе человеческого тела, но и в широчайшем спектре технологий, играющих важную роль в нашей повседневной жизни. Например, телефонные сети используют согласование импедансов для минимизации эха в дальних линиях связи; в большинстве громкоговорителей и музыкальных инструментов имеются механизмы согласования импедансов; кости среднего уха обеспечивают согласование импедансов барабанной перепонки и внутреннего уха. Если вы когда-нибудь проходили ультразвуковое исследование – или присутствовали при нем, – вы знаете, что перед тем, как приложить зонд к коже пациента, медсестра или оператор наносят на нее некий липкий гель. Возможно, вы думали, что он действует в качестве смазки, но на самом деле он обеспечивает согласование импедансов. Без такого геля несоответствие импедансов в процедуре ультразвукового исследования привело бы к отражению почти всей энергии от кожи; лишь очень малая ее часть смогла бы проникнуть внутрь тела и отразиться там от исследуемого органа или зародыша.

Термин «согласование импедансов» чрезвычайно удобен в качестве метафоры, выражающей важные аспекты социального взаимодействия. Например, для бесперебойного и эффективного функционирования социальных сетей, будь то в обществе в целом, в компании, в коллективной деятельности или – и даже в особенности – в личных отношениях, например в браке или дружбе, необходимы хорошие каналы связи, обеспечивающие достоверную передачу информации между группами и отдельными индивидами. Если информация рассеивается или «отражается», например когда один из собеседников не слушает другого, это делает невозможным ее точную или эффективную обработку, что неизбежно приводит к неправильной интерпретации, аналогичной потерям энергии в отсутствие согласования импедансов.