Рэймонд Смаллиан - Как же называется эта книга?

68. Свинцовую шкатулку можно сразу же исключить из рассмотрения, так как если бы портрет находился в ней, то оба высказывания, выгравированные на крышке свинцовой шкатулки, были бы ложными. Следовательно, портрет находится в золотой или в серебряной шкатулке. Первые высказывания, выгравированные на крышках золотой и серебряной шкатулок, согласуются, поэтому они либо оба истинны, либо оба ложны. Если они оба ложны, то вторые высказывания оба истинны, что невозможно, так как вторые высказывания противоположны друг другу. Следовательно, если первые высказывания оба истинны, то портрет не может находиться в золотой шкатулке. Это доказывает, что портрет находится в серебряной шкатулке.

68а.Если портрет находится в золотой шкатулке, то на крышках золотой и серебряной шкатулок выгравировано по два ложных высказывания. Если портрет находится в серебряной шкатулке, то на крышках серебряной и свинцовой шкатулок выгравировано по одному истинному и одному ложному высказыванию. Следовательно, портрет находится в свинцовой шкатулке (крышка серебряной шкатулки при этом украшена двумя истинными высказываниями, крышка свинцовой шкатулки — двумя ложными высказываниями, и крышка золотой шкатулки — одним истинным и одним ложным высказыванием).

69. Предположим, что шкатулку из свинца изготовил Беллини. Тогда высказывание, помещенное на ее крышке, было бы истинным, и, следовательно, две другие шкатулки должны были бы быть работы Челлини. Это означает, что оба остальных высказывания ложны. В частности, ложно высказывание, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, поэтому кинжал находится в серебряной шкатулке. Итак, если свинцовая шкатулка работы Беллини, то кинжал находится в серебряной шкатулке.

Предположим теперь, что свинцовую шкатулку изготовил Челлини. Тогда высказывание, украшающее ее крышку, ложно, поэтому по крайней мере две шкатулки изготовил Беллини. Это означает, что и золотая, и серебряная шкатулки работы Беллини (так как свинцовая по предположению изготовлена Челлини). Значит, высказывания на крышках золотой и серебряной шкатулок истинны. В частности, истинно высказывание, выгравированное на крышке золотой шкатулки. Следовательно, в этом случае кинжал лежит в золотой шкатулке.

Ни в одном из случаев кинжал не может оказаться в шкатулке из свинца, поэтому претенденту на руку Порции следует выбрать свинцовую шкатулку.

69a.Если серебряную шкатулку изготовил Беллини, то высказывание, выгравированное на ее крышке, истинно. В этом случае золотая шкатулка изготовлена Челлини. Предположим теперь, что серебряная шкатулка работы Беллини. Тогда золотую шкатулку изготовил Челлини (если бы золотая шкатулка была работы Беллини, то мы имели бы дело с тем случаем, когда ровно одна шкатулка изготовлена Беллини).

Итак, независимо от того, кто изготовил серебряную шкатулку — Беллини или Челлини, золотая шкатулка заведомо работы Челлини. Следовательно, высказывание, выгравированное на крышке золотой шкатулки, ложно, поэтому портрет находится в золотой шкатулке.

69б.Докажем прежде всего, что свинцовую шкатулку должен был изготовить Беллини. Предположим, что свинцовая шкатулка работы Челлини. Тогда высказывание, выгравированное на ее крышке, ложно. Это означает, что по крайней мере две шкатулки должны быть изготовлены Беллини, а именно серебряная и золотая, что невозможно, так как портрет не может находиться в золотой и в серебряной шкатулках одновременно. Следовательно, свинцовая шкатулка в действительности изготовлена Беллини. Но тогда выгравированное на ее крышке высказывание истинно, и поэтому по крайней мере две шкатулки изготовлены Челлини. Это означает, что и золотая, и серебряная шкатулки работы Челлини. Следовательно, высказывания, украшающие крышки этих шкатулок, ложны, и портрет не находится ни в золотой, ни в серебряной шкатулке. Значит, портрет находится в свинцовой шкатулке.

Мы доказали также, что свинцовую шкатулку изготовил Беллини, а две остальные шкатулки — Челлини. Тем самым получен ответ и на второй вопрос задачи.

70. Претенденту на руку Порции следовало бы понять, что без информации об истинности или ложности любого высказывания или об отношении принимаемых высказываниями значений истинности высказывания не позволяют прийти к какому-либо выводу, и предмет (портрет или кинжал) может находиться где угодно. Что мешает мне взять любое число шкатулок, положить в одну из них какой-нибудь предмет и сделать на крышках любые надписи, какие только мне заблагорассудится? Эти надписи не будут нести в себе никакой информации о предмете, спрятанном в одной из шкатулок. Отсюда ясно, что Порция не лгала своему возлюбленному. Все, что она утверждала, сводилось к следующему: некий предмет спрятан в одной из шкатулок. И в каждом случае ее утверждение соответствовало истине.

Иное дело-истории о предках Порции N-й: если бы портрет или кинжал не оказался бы там, где его рассчитывал найти претендент на руку прапрапра…бабушки Порции N-й, то это означало бы (как мы вскоре увидим), что где-то «по дороге» прапрапра…бабушка допустила ложное высказывание.

Происшествие с поклонником Порции N-й можно рассматривать и с иной точки зрения. Его ошибка заключается в том, что каждое из высказываний, выгравированных на крышках шкатулок, он считал либо истинным, либо ложным. Разберемся более подробно, как происходило первое испытание — с двумя шкатулками. На крышке золотой шкатулки было выгравировано: «Портрет не в этой шкатулке». Это высказывание заведомо либо истинно, либо ложно, так как портрет либо находится в золотой шкатулке, либо его там нет. В действительности оно оказалось истинным, так как Порция положила портрет в серебряную шкатулку. Вот теперь мы приступаем к самому важному. Известно, что Порция положила портрет в серебряную шкатулку. Что можно сказать о высказывании, выгравированном на крышке этой шкатулки? Истинно оно или ложно? Оно не может быть ни истинным, ни ложным, ибо в противном случае мы пришли бы к противоречию! Действительно, предположим, что это высказывание было бы истинным. Тогда истинно ровно одно высказывание, а так как первое высказывание (выгравированное на крышке золотой шкатулки) истинно, то второе высказывание ложно. Таким образом, если бы высказывание, помещенное на крышке серебряной шкатулки, было истинным, то оно… было бы ложным! С другой стороны, предположим, что высказывание, выгравированное на крышке серебряной шкатулки, ложно. Тогда первое высказывание истинно, второе ложно. Следовательно, истинно ровно одно высказывание. Но именно это и утверждается во втором высказывании, которое по предположению ложно. Значит, оно должно быть истинным! Таким образом, оба предположения (и о том, что второе высказывание истинно, и о том, что второе высказывание ложно) приводят к противоречию.