Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Собственно говоря, ту последовательность цифр, которую мы использовали в нашем примере с шифровкой Смайли,

1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8…,

тоже нельзя использовать для кодирования донесения, и не потому, что цифры не расположены абсолютно хаотично — как раз эта последовательность является совершенно хаотичной. Дело, однако, в том, что эта последовательность очень хорошо знакома всем любителям чисел. Речь идет о первых цифрах после запятой всем известного числа π.

Архимед — впрочем, кто еще мог это сделать, как не величайший математик всех времен и народов? — был первым, кому удалось изобрести способ со сколь угодной точностью рассчитывать соотношение длины окружности и ее диаметра. Сам Архимед не называл это соотношение π. Это обозначение ввел в математику много веков спустя валлийский математик Уильям Джонс, произведя его от греческого слова περιφέρεια — периферия, кайма, край. Ввиду чрезвычайной трудоемкости расчетов Архимед удовольствовался тем, что поместил результат между значениями 3 + 10/71 (что соответствует современной записи 3,1408…) и 3 + 1/7 (что соответствует современной записи 3,1428…). Только около 1600 г., больше чем за тридцать лет работы, Лудольфу ван Цейлену удалось ценой тяжких усилий рассчитать следующую величину числа π:

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…

Именно результатом ван Цейлена мы воспользовались для числа из нашего примера с шифровкой Смайли. Правда, использование этой последовательности было для Смайли и Цирка неслыханно рискованным, ибо число π является одним из самых известных чисел в мире. С помощью электронно-вычислительных машин и специальных программ, которые считают намного быстрее, чем Архимед, число π было рассчитано с точностью до нескольких триллионов знаков после запятой. Величина π представляет собой одно из чисел, какие французский математик Эмиль Борель за неимением, видимо, более подходящего слова назвал в 1909 г. нормальными. Если рассмотреть достаточно длинный отрезок десятичного представления числа π, скажем один миллион следующих друг за другом разрядов, то выяснится, что каждая из десяти цифр встретится в этом отрезке приблизительно сто тысяч раз. Каждая из ста пар цифр (от 00 до 99) встретится в этом отрезке приблизительно десять тысяч раз, а каждое из тысячи сочетаний из трех цифр встретится в выбранном отрезке около тысячи раз.

В «Математикуме» Альбрехта Бейтельспахера в Гисене, в Технораме в Винтертуре и на других подобных выставках любителям с помощью интересных экспонатов наглядно демонстрируют, что такое математика. Так вот, на этих выставках можно видеть компьютерную клавиатуру и монитор. С помощью этой аппаратуры любой желающий может напечатать на экране число, месяц и год своего рождения. На экране в ту же секунду отображается тот отрезок десятичного представления числа π, куда включена последовательность чисел, составляющих дату рождения. Считается, что в нормальном числе произвольная последовательность из восьми цифр встречается приблизительно десять раз на отрезке длиной в миллиард цифр.

Все сказанное с явной очевидностью указывает на то, что число π является нормальным числом, но ни в коем случае этого не доказывает. Нормальным, с гарантией, является число, изобретенное британским экономистом Дэвидом Гоуэном Чамперноуном и представляющее собой бесконечную непериодическую десятичную дробь

0,123 456 789 101 112 131 415 161 718 192 021 222 324 252 627 28…,

в которой последовательность цифр выписывается по тому же принципу, по которому писал на холсте свои числа Роман Опалка: за однозначными числами, записанными после запятой, следуют все прочие натуральные числа — 10, 11, 12, 13, 14 и так далее. На первый взгляд это вообще незаметно, потому что цифры записываются тройками, но если начать читать цифровую последовательность вслух, то принцип построения сразу становится очевидным. Кстати, стоит отметить, что этот принцип Чамперноун предложил в 1933 г., когда был юным студентом Кембриджа.

Но и это число слишком широко известно, и его нельзя применять для шифрования по методу одноразового блокнота.

Теперь мы снова обратимся к цифровым последовательностям, которые возникают в результате деления. Оказалось, что при делении на очень большие числа иногда приходится очень долго ждать того момента, когда в последовательности цифр вдруг начинает проступать повторяемость и периодическая закономерность. Так как не всегда легко отыскать подходящий большой делитель, да и само деление бывает достаточно трудоемким, мы решили отказаться от идеи создавать таким способом случайные цифровые последовательности.

Но целиком и полностью ее отбрасывать все же не стоит. С помощью деления мы как будто бы перепутываем цифры. Впрочем, оставим на время деление и сосредоточимся на перемешивании.

Тоби Эстерхази, незаметный сотрудник Цирка, разложил перед собой десять игральных карт с числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для того чтобы составить для умников Цирка случайные последовательности цифр, Тоби должен основательно перетасовать карты. Потом он извлекает из колоды одну карту, записывает цифру, возвращает карту в колоду, снова тасует ее, а затем извлекает следующую карту и записывает следующую цифру; Тоби продолжает эту игру до тех пор, пока не запишет последовательность из двенадцати цифр — например

7 5 2 5 8 4 0 4 9 6 1 3.

Таким способом Тоби создал одну из 10 12, то есть из одного триллиона, возможных комбинаций по 12 цифр, и большая часть этих комбинаций представляется совершенно случайной.

Эстерхази мог бы получить ту же, но периодически повторяющуюся последовательность цифр, если бы поделил число 6917 на число 9191. В результате он бы получил:

6917 ÷ 9191 = 0,752 584 049 613 752 584 049 613 752 584 049 613…

Заметим, кстати, что деление числа 752 584 049 613 на число 999 999 999 999 дает тот же самый результат, что определяется свойствами делителя.

Однако этого недостаточно для использования в методе одноразового блокнота, ибо созданная Тоби Эстерхази последовательность цифр периодически повторяется, то есть обладает явной, видимой закономерностью и упорядоченностью.

Естественно, однако, что важный Эстерхази не сам выполняет перемешивание цифр. У него в подчинении двадцать человек, которые ежечасно, ежедневно и ежемесячно снова и снова складывают карты в колоды, тасуют их, вытаскивают по одной карте, записывают цифру, укладывают карту в колоду, снова тасуют, снова вытаскивают и записывают следующую цифру, потом снова укладывают карту в колоду и снова тасуют, и так каждый божий день в течение восьмичасовой смены. Сам Тоби в это время разыгрывает из себя Оскара Уайльда и предается праздности. Он лишь собирает полученные в конце рабочего дня двадцать списков, составляет их в произвольном порядке и укладывает в сейф, добавляя к спискам предыдущих дней.