Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Темой диссертации Гёделя является полнота логического исчисления. Чистая логика, которая еще не включает в себя арифметику чисел, является полной и непротиворечивой системой. Этим утверждением Гёдель внес свой вклад в развитие программы Гильберта. Тем удивительнее смотрится на этом фоне теорема Гёделя о неполноте.

Яркий пример — теорема Гудстейна, с которой мы познакомились в примечании 10. В 1982 г. два британских математика Лоренс Кирби и Джеффри Брюс Парис доказали, что существует непротиворечивая математика, в которой теорема Гудстейна верна, но существует и другая непротиворечивая математика, в которой эта теорема неверна.

Подобное пари заключил в 1918 г. Герман Вейль со своим коллегой Дьердем Пойа в присутствии двенадцати свидетелей-математиков: Вейль утверждал, что следующие двадцать лет подавляющее большинство математиков будут заниматься своей наукой в духе, предначертанном Пуанкаре, Брауэром и им самим, а слепые аксиоматические правила игры будут отброшены, ибо они столь же бессмысленны — согласно сформулированному Вейлем и Пойа пари, — как натурфилософия Гегеля. Когда двадцать лет спустя вся компания собралась в прежнем составе, рассудить, кто выиграл спор, всем, включая и самого Германа Вейля, было ясно, что выиграл Пойа. Практически все математики занимались своей наукой так, словно были всеведущими и всемогущими властителями царства бесконечного, а если на горизонте появлялась угроза, то они прятались в мнимо безопасной гавани правил игры с аксиомами. Джон фон Нейман следующим образом описывает это положение вещей в статье «Математик» (The Mathematician), помещенной в вышедшем в 1947 г. под редакцией Р. Хейвуда сборнике «Труды разума» (The Works of Mind): «Лишь очень немногие математики оказались готовы к тому, чтобы принять новые требовательные масштабы (фон Нейман имел в виду строгую интуиционистскую математику Брауэра и Вейля) и применить их в собственной работе. Очень многие, однако, признавали, что, на первый взгляд, Вейль и Брауэр были правы. Сами же они (математики) продолжали следовать старым, “простым” методам, вероятно, в надежде, что когда-нибудь кто-нибудь найдет ответ на интуиционистскую критику и апостериори их труд будет оправдан в глазах потомков».

«В настоящее же время, — пишет далее фон Нейман в той же статье, — спор об “основах” далеко не окончен, но представляется весьма маловероятным, что, если не считать незначительного меньшинства, математики откажутся от классической системы».

Дальше фон Нейман без обиняков, прямо и откровенно пишет: «Все это происходило при моей жизни, и я знаю, как унизительно легко менялись на фоне этих событий мои взгляды на абсолютную математическую истину. Я менял их трижды!»

Волей-неволей Вейлю пришлось признать, что заключенное с Пойа двадцать лет назад пари он проиграл. Пойа, однако, великодушно разрешил Вейлю не публиковать сообщение об этой ошибке. Только один человек из всех присутствующих, от которых зависел исход пари, не проголосовал за Пойа. Этим человеком был Курт Гёдель.