Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

1 4 8 5 9 9 6 5 0

1 4 4 5 9 5 6 5 6.

Если теперь люди Карлы вычтут нижнее сообщение из верхнего по модулю десять, то получат

0 0 4 0 0 4 0 0 4,

то есть увидят явную систему, очевидный «узор». Обнаружение системы — это залог к успешной дешифровке вражеского кода. При многократном применении одного листка шифр становится очень ненадежным. Поэтому использовать листки блокнота можно только один раз, и блокнот называется «одноразовым».

Ситуация, при которой цифры бесконечно появляются друг за другом, известна уже школьникам начальных классов с момента, когда они начинают изучать деление. Это действие редко выполняется так же гладко, как при делении 42: 6 = 7. В большинстве случаев при делении получают остаток. Например, при делении 42 на 15 получают частное 2, потому что дважды пятнадцать целиком содержится в 42, но при этом получается остаток 12. Он получается, потому что дважды 15 не равно в точности 42, но лишь 30, и разница между 30 и 42 как раз и равна 12. Поэтому записывают:

Однако деление остатка 12 на 15 невыполнимо, так как 15 ни одного раза не содержится в 12. Адам Ризе, научивший нас позиционной записи, смог выполнить деление дальше, воспользовавшись числом 0. Он добавил к 12 число 0, то есть умножил остаток 12 на 10, и смог таким образом довести деление до конца, разделив число 120 без остатка на 15. В двух строках это действие выглядит так:

Результат он записывает в виде десятичного числа 2,8. Дети в школе учатся записывать обе эти строки так: сначала записывают деление 42 на 15 как

То есть аккуратно записывают остаток 12 под делимым 42. Затем к 12 «подвешивают» 0, а к частному 2 пририсовывают запятую:

и делают следующий шаг: делят 120 на 15, получают число 8, которое записывают после запятой, а под числом 120 подписывают остаток 0:

При делении 42 на 13 начало выглядит похоже:

Однако в этом случае получается еще один остаток. В этом случае Адам Ризе предписывает нам снова приписать 0 к остатку и продолжить деление:

Снова получается остаток. Следовательно, надо продолжать процедуру дальше:

Конца этому процессу не видно. Но, во всяком случае, снова появился первый остаток — 3, значит, вся предыдущая процедура будет снова и снова повторяться до бесконечности. В результате мы получим «бесконечную десятичную дробь»

42: 13 = 3,230769230769230769230769230769230769230769…,

в которой последовательность цифр 230769 представляет собой так называемый период.

Ясно, что при делении целых чисел всегда получаются периодические бесконечные дроби, если деление не обрывают раньше, так как в каком-то месте должен получиться остаток, который уже получался в предыдущих делениях; существует лишь конечное число возможных остатков, а именно их число равно делителю.

Для знатоков предмета: число 10 должно быть так называемым «первообразным» корнем такого делителя. Другими словами: если обозначить делитель буквой m и делить ряд степеней 10, то лишь при делении числа 10 m — 1 на число m получается остаток 1. Например, число 10 является первообразным корнем делителей 7 или 113, но не является первообразным корнем делителя 3 (уже 10: 3 дает остаток 1) или делителя 13 (13 × 76923 = = 999 999, то есть уже при делении 10 6 на 13 получается остаток 1).

Если повезет, то может случиться так, что намного меньшее число, выступающее в роли делителя, приведет к этой чрезвычайно длинной и, как представляется, случайной последовательности — в лучшем случае числа, состоящего «только» из пары сотен разрядов. Конечно, это намного меньше числа, состоящего из 10 200 девяток, то есть из 10 200 разрядов. Однако 10 должно быть первообразным корнем этого приблизительно двухсотзначного делителя.

Прорези могут быть прикрыты расположенной снизу длинной линейкой: если линейку сдвигают вверх, под ней обнаруживаются пять прорезей, и в них нанесены цифры. При этом все устроено так, что сумма цифр в парах прорезей — верхней и нижней — равна девяти. Если сверху прочитывается число 31 415, которое прикрывается сдвинутой кверху линейкой, то в открывшихся прорезях видны цифры 68 584. Мы назовем это число «сопряженным» с числом 31 415.

На валиках с нанесенными цифрами, которые видны в прорезях, Паскаль поместил в двух строчках по 10 цифр от нуля до девяти. В верхней строчке в следующем порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — так, чтобы при вращении соответствующего колесика по часовой стрелке значения цифр возрастали; в нижней строчке цифры последовательности расположены в противоположном порядке: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Эти цифры нижней строчки становятся видны только в том случае, когда уже упомянутую прикрывающую линейку сдвигают кверху. Если, например, в верхней строке прочитывается первое число 31 415, то в нижней появляется второе число 68 584, сопряженное с первым. Смысл этого устройства состоит в том, чтобы его можно было использовать для выполнения не только сложения, но и вычитания. Собственно, вычитание становится возможным при вращении колесика против часовой стрелки, но такое вращение ломало рычажный механизм переноса. Поэтому Паскаль установил в машине стопор, предотвращавший обратный поворот колесика. Например, вычитание 61 — 45 Паскаль с помощью своей машины выполнял, следуя своим изящным соображениям относительно сложения, так: рассчитывается число, сопряженное с 61. Для этого его вычитают из 99 999 и получают 99 999 — 61 = 99 938. Если прибавить к этому число 45, то получится

99 999 — 61 + 45 = 99 999 — (61 — 45).

Это и есть сопряженное число разности 61 — 45, которую мы хотим найти. Фактически получается сумма 99 938 + 45, то есть число 99 983, а сопряженное с ним число есть 00016, то есть искомая разность. Исходя из этого Паскаль вычисляет ее, то есть 61 — 45, следующим способом: на «паскалине» он устанавливает число 00061, но устанавливает в нижних прорезях. В верхних прорезях появляется сопряженное ему число 99 938, но этот результат Паскаля не интересует, и он выполняет сложение, прибавляя 45 при открытых нижних прорезях, где видит искомое число 00016.