Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

a 1 , a 2 = 3 Ω 2 ( a 1 ) — 1, a 3 = 4 Ω 3 ( a 2 ) — 1, a 4 = 5 Ω 4 ( a 3 ) — 1, a 5 = 6 Ω 5 ( a 4 ) — 1….

всегда должна заканчиваться нулем, независимо от того, с какого числа a 1 начата эта последовательность. Это ошеломляющее, поистине невероятное высказывание. Мы не можем утверждать это даже для числа a 1 = 19. Но закономерность справедлива, говорит нам Гудстейн, даже для такого чудовищно большого числа, как a 1 = 3↑↑↑3. И это вопреки тому факту, что нам никогда не удастся назвать число 2(3↑↑↑3), а уж следующий член последовательности a 2 = 3Ω 2(3↑↑↑3) — 1 сокрыт и в вовсе непроглядном мраке.

В какой-то момент, уверен Гудстейн, когда основания для каждого последующего члена увеличивают на единицу, мы получим гигантские значения членов последовательности. Для того чтобы обосновать это, Гудстейн, однако, должен дать точное математическое определение бесконечному, к которому стремятся лопающиеся от своей величины члены последовательности Гудстейна. Мы подробнее поговорим об этом в последней главе. Соответствует ли эта математическая модель существу самого понятия бесконечного — вопрос открытый, и, вероятно, он всегда останется открытым.

Если принять примененную Гудстейном математическую модель бесконечности всерьез, то фактически он прав. Существуют не только числа Θ(1), Θ(2), Θ(3) и Θ(4), существует также и число Θ(19). Собственно, должно существовать и число Θ(3↑↑↑3) — поистине головокружительное число.

Все дело в том, что при делении 10, 100, 1000, … на три в остатке всегда остается 1. Если, например, разделить на три число 4281, то при делении на три числа 4000 получится остаток 4 × 1 = 4, при делении на три числа 200 образуется остаток 2 × 1 = 2, при делении 80 на три остаток составит 8 × 1 = 8, а при делении единицы на три остаток будет равен 1 × 1 = 1. Поэтому остаток от деления числа 4281 на 3 будет равен 4 + 2 + 8 + 1 = 15, а это число делится на три без остатка, и поэтому остаток от деления числа 4281 на три равен нулю.

То, что Мерсенн показал на этом примере, справедливо всегда: если рассмотреть число, представленное двумя множителями a и b , то есть a × b , причем оба числа a и b больше единицы, то справедливо будет следующее равенство

2 a × b — 1 = (2 a — 1) × (1 + 2 a +2 2 a +… + 2 ( b — 1) × a ),

правая часть которого является составным числом.

Чтобы воздать должное истине, надо сказать, что Ферма записывал эти числа в виде степенных башен. То есть эти числа принимают одновременно следующую форму:

2 20 + 1 = 2 + 1 = 3, 2 21 + 1 = 4 + 1 = 5, 2 22 + 1 = 16 + 1 = 17,

2 23 + 1 = 256 + 1=257.

и так далее.

В принципе, можно было последовательно делить число 4 294 967 297 на простые числа из достаточно длинной и полной таблицы простых чисел с тем, чтобы проверить, не делится ли данное число на какое-либо из простых чисел без остатка. Однако этот способ, не говоря уже о массе потраченного времени, невероятно примитивен. Наверняка Эйлер пошел другим путем. Вероятно, он нашел, что 641 = 5 4 + 2 4 и одновременно 641 = 5 × 2 7 + 1. В силу справедливости первой формулы 641 делит без остатка число (5 4 + 2 4) × 2 28, а в силу справедливости второй формулы 641 делит без остатка число 5 4 × 2 28— 1, потому что его можно разложить следующим образом:

5 4 × 2 28 – 1 = (5 × 2 7 + 1) × (5³ × 2 21 – 5² × 2 14 + 5 × 2 7 – 1).

Следовательно, если число 641 является делителем чисел (5 4 + 2 4) × 2 28 и 5 4 × 2 28— 1, то оно является и делителем их разности, то есть числа

(5 4 + 2 4 ) × 2 28 — (5 4 × 2 28 – 1) = 2 4 × 2 28 + 1 = 2 32 + 1 = 4 294 967 297.

Нам, однако, хотелось бы понять, почему вообще работает такой своеобразный способ шифрования и дешифровки? Для того чтобы ответить на этот вопрос, надо в довольно далекое прошлое и оглянуться на Пьера де Ферма, отличавшегося неслыханным остроумием правоведа эпохи барокко, посвящавшего все свое свободное время изучению чисел.

Можно представить себе, что Ферма был одержим вычислениями. С маниакальным упорством он искал и находил тайны чисел. Он, например, обнаружил, что пятые степени всех цифр заканчиваются той же цифрой, стоящей в разряде единиц: число 0 5 = 0 оканчивается на ноль, число 1 5 = 1 оканчивается на единицу, число 2 5 = 32 оканчивается на два, число 3 5 = 243 оканчивается на три, число 4 5 = 1024 оканчивается на четыре, число 5 5 = 3125 оканчивается на пять, число 6 5 = 7776 оканчивается на шесть, число 7 5 = 16 807 оканчивается на семь, число 8 5 = 32 768 оканчивается на восемь, а 9 5 = 59 049 оканчивается на девять. А как обстоят дела с третьими степенями? В данном случае такой закономерности нет. Например, 2³ = 8, это число не оканчивается двойкой. Но Ферма находит, что 2³ — 2, то есть 8 — 2 = 6 без остатка делится на показатель степени три. Собственно, это то же самое, что было установлено им выше, а именно что пятая степень любой цифры минус эта цифра делится на пять. Ферма продолжает считать дальше: 3³ — 3 = 27 — 3 = 24, и это число на самом деле делится на три. Точно так же Ферма устанавливает, что 4³ — 4 = 64 — 4 = 60, и это число тоже делится на три, что 5³ — 5, то есть 125 — 5 = 120, и это число тоже делится на три, что 6³ — 6, то есть 216 — 6 = 210, и это число делится на три, что 7³ — 7, то есть 343 — 7 = 336, делится на три, что 8³ — 8, то есть 512 — 8 = 504, делится на три, что, далее, 9³ — 9, то есть 729 — 9 = 720, делится на три, что даже 10³ — 10, то есть 1000 — 10 = 990, делится на три и что 11³ — 11, то есть 1331 — 11 = 1320, тоже без остатка делится на три.

Это не может быть случайностью! Или все-таки может? Что, если исследовать четвертые степени чисел? Ну, например, 3 4 = 81. Однако 3 4— 3, то есть 81 — 3 = 78, и это число не делится на четыре. Посмотрим, как обстоят дела с седьмыми степенями? В примере 2 7 = 128 этот феномен снова всплывает во всей своей красе: 2 7— 2, то есть 128 — 2 = 126, и это число делится на семь. При 3 7 = 2187 это правило тоже действует, ибо 3 7— 3, то есть 2187 — 3 = 2184, делится на семь.