Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Пьер де Ферма, французский ученый-любитель, с которым мы познакомились как с соавтором «исчисления», вскользь упомянул о нем в частном письме. Ферма также утверждал, что множитель 2 перед х ² в формуле у ² = 2 х ² + 1 можно заменить любым другим целым числом, если оно само не является квадратом. Так, на самом деле существует бесконечное множество значений х и у , при которых справедливо равенство у ² = 3 х ² + 1, и бесконечное множество значений х и у , удовлетворяющих равенству у ² = 5 х ² + 1, и так далее. Иногда приходится долго искать значения неизвестных в данном равенстве. Например, в уравнении у ² = 991 х ² + 1 первыми наименьшими значениями х и у , удовлетворяющими ему, являются гигантские числа:

х = 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767

и

у = 379 516 400 906 811 930 638 014 896 080.

Откуда Ферма черпал свою убежденность, мы не знаем. Только через сто лет дотошный швейцарский математик Леонард Эйлер доказал, что Ферма был прав.

Архимед, однако, на много сотен лет раньше знал то, во что верил Пьер де Ферма и сумел доказать Леонард Эйлер. Дело в том, что вторая часть загадки о быках Гелиоса сводится к нахождению двух чисел х и у , удовлетворяющих уравнению

у ²= 410 286 423 278 424 х ² 1.

Как мы видим, речь идет об уравнении того же типа, что и у ² = 2 х ² + 1, у ² = 5 х ² + 1 или у ² = 991 х ² + 1. Единственное отличие — очень большой множитель перед х ².

Для знатоков: значение 70 возникает потому, что 70 сотых, то есть 0,7, с вполне достаточной точностью соответствует натуральному логарифму числа 2.

Однако это лишь начало того, как математика может продуцировать большие числа.

Пример сказочно большого числа, перед которым бледнеет даже число 3↑↑↑3, мы получим, если воспользуемся методом, придуманным британским математиком Рубеном Луисом Гудстейном в 1944 г. Однако для того, чтобы проследить за его рассуждениями, мы начнем рассказ издалека.

Сначала мы разберемся, что значит представление числа «по основанию». При этом основанием мы назовем любое число, отличное от единицы. Рассмотрим, например, наименьшее из возможных оснований — число 2, и число 42. Мы делим это число на основание, то есть в нашем случае 42:2, получаем частное 21 и остаток 0 и записываем результат следующим образом:

42 = 21 × 2 + 0.

Теперь разделим частное на основание, в нашем примере, 21:2, и получаем частное 10 и остаток 1, то есть:

21 = 10 × 2 + 1.

Эту игру мы продолжим до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. То есть последовательность результатов деления

42 = 21 × 2 + 0

21 = 10 × 2 + 1

10 = 5 × 2 + 0

5 = 2 × 2 + 1

2 = 1 × 2 + 0

1 = 0 × 2 + 1.

Теперь выписываем всю последовательность результатов:

42 = 21 × 2 + 0 =

= (10 × 2 + 1) × 2 + 0 = 10 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (5 × 2 + 0) × 2² + 1 × 2 + 0 = 5 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (2 × 2 + 1) × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 = 2 × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

= (1 × 2 + 0) × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 =

=1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0.

Итак, результатом

42 = 1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0

число 42 представлено по основанию 2. Назовем полученные перед степенями двойки множители 1, 0, 1, 0, 1, а также приписанный в конце 0 (это множитель при нулевой степени 2 или 2 0— которая равна единице, ибо нулевая степень любого числа считается равной единице) «цифрами» числа 42 по основанию 2. Выписанное выше представление 42 по основанию 2 можно в сокращенном виде записать так (1 0 1 0 1 0) 2, или, подробнее:

42 = 1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 = (1 0 1 0 1 0) 2 .

Число 42 можно представить и по основанию 5. В этом случае процесс деления выглядит так:

42 = 8 × 5 + 2

8 = 1 × 5 + 3

1 = 0 × 5 + 1.

Теперь можно объединить эти результаты, представив их так:

42 = 8 × 5 + 2 = (1 × 5 + 3) × 5 + 2 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2,

получив в итоге

42 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2 = (1 3 2) 5 .

Еще проще представить 42 по основанию 7. Здесь достаточно двух делений

42 = 6 × 7 + 0

6 = 0 × 7 + 6,

откуда непосредственно вытекает представление

42 = 6 × 7 + 0 = (6 0) 7 .

Так же просто представить 42 по основанию 10. Для этого тоже нужны всего два деления:

42 = 4 × 10 + 2

4 = 0 × 10 + 4,

откуда следует представление 42 = 4 × 10 + 2 = (4 2) 10.

Представление числа по основанию 10 известно нам со времен Адама Ризе: это обычная запись числа в десятичной системе.

Нам, однако, для последующего изложения важны различные основания, ибо только так мы поймем, что имел в виду Гудстейн, говоря о «раздувании» чисел: при раздувании числа 42 от основания 5 к основанию 6 в представлении

42 = 1 × 5² + 3 × 5 + 2

заменяют все числа 5 числом 5 + 1 = 6 и рассчитывают полученное таким образом число:

1 × 6² + 3 × 6 + 2 = 36 + 18 + 2 = 56.

При раздувании от основания 5 до основания 6 из числа 42 получают большее число, а именно 56. Точно так же можно раздуть число 42 от основания 7 до основания 8: исходя из равенства 42 = 6 × 7 + 0, образуют, заменяя 7 выражением 7 + 1 = 8, выражение 6 × 8 + 0 = 48. Здесь из числа 42 получается число 48. При раздувании числа 42 от основания 10 к основанию 11 заменяют 10 числом 10 + 1 = 11 и записывают: 4 × 11 + 2. Это дает раздутое число 46. Однако, раздувая число 42 от основания 2 к основанию 3, мы должны учесть одно дополнительное требование, установленное Гудстейном: по основанию 2 число 42 выглядит так:

42 = 1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0.

Здесь мы видим показатели степени, которые точно так же можно представить по основанию 2, а именно:

5 = 1 × 2² + 0 × 2 + 1, 4 = 1 × 2² + 0 × 2 + 0, 3 = 1 × 2 + 1 и 2 = 1 × 2 + 0.

Эти представления показателей степеней вводят в вышеприведенную формулу так, чтобы в полученном представлении числа 42 нигде, включая и показатели степени, не встречались числа, бо́льшие 2:

42 = 1 × 2 1 × 22 + 0 × 2 + 1 + 0 × 2 1 × 22 + 0 × 2 +0 + 1 × 2 1 × 2 + 1 + 0 × 2 1 × 2 +0 + 1 × 2 + 0.

Для упрощения мы можем в этом представлении числа 42, которое мы обозначим 2(42), опустить все слагаемые с множителем 0. Таким образом, получаем:

2 (42) = 1 × 2 1 × 22 + 1 + 1 × 2 1 × 2 + 1 + 1 × 2.

Теперь Гудстейн раздувает число 42 от основания 2 к основанию 3, для чего он везде, где встречается число 2, заменяет его на 2 + 1 = 3. Таким способом он получает: