Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

В четвертой части словесно формулируются еще четыре уравнения, с помощью которых можно вычислить число коров:

W = (⅓ + ¼) ( s + S )

S = (¼ + ⅕) ( g + G )

G = (⅕ + ⅙) ( b + B )

B = (⅙ + 1/7) ( w + W )

(В переводе Александра Мельмана сумма одной пятой и одной шестой описана как «одиннадцать тридцатых».)

В пятой части Архимед сообщает, что эти семь уравнений с восемью неизвестными, так называемые «диофантовы уравнения», имеющие целочисленные решения, являются лишь первой частью задания. В стихотворении Мельмана говорится, что тот, кто решит эти уравнения, может считать себя сдавшим ЕГЭ, но на принадлежность к математической элите такой человек претендовать не может.

В заключительной части Архимед говорит, что сумма s и w является квадратом: черных и белых быков можно выстроить в строй с равным количеством шеренг и колонн. Далее Архимед строит остальных быков, число которых равно b + g , в шеренги так, чтобы в каждой следующей шеренге было на одного быка меньше, чем в предыдущей, и таким образом в, так сказать, верхней строке окажется всего один бык. Выражаясь математически: b + g является числом треугольника. Поскольку числа треугольника представляют в виде ½ × ( n ² + n ), а квадратные числа в форме m ², постольку можно понять, что вторая часть задачи Архимеда представляет собой «диофантово уравнение» второй степени.

«Сложные взаимоотношения» обоих чисел восходят к одной древней проблеме, известной уже Пифагору. Пифагор предположил, что все в этом мире можно описать с помощью дробей, в которых числитель и знаменатель являются целыми числами (знаменатель, равный нулю, не рассматривается). Но уже геометрия показала ошибочность этого утверждения.

Если, например, построить на диагонали квадрата другой квадрат, для которого диагональ первого является стороной, то очевидно, что второй квадрат по площади в два раза превосходит первый. Допустим, что сторона первого квадрата равна х единиц длины — в данном случае не важно, что мы примем за такую единицу — метры, миллиметры или поперечный размер атома. После этого рассчитаем площадь первого квадрата в соответствующих единицах площади — квадратных метрах, миллиметрах или иных единицах. Для этого число единиц длины, составляющих сторону квадрата, надо умножить само на себя. Эту величину устно называют «икс-квадрат» и записывают так х ². Если, например, х = 12, то х ² = 144. Если у = 17, то у ² = 289. Совершенно случайно 289 почти в точности равно удвоенному числу 144, то есть 288. Другими словами, у квадрата со стороной 12 см длина диагонали чуть-чуть меньше 17 см. То есть отношение диагонали квадрата к длине его стороны равно приблизительно 17/12. Однако греки задались вопросом: можно ли вообще выразить это отношение дробью вида x/y ?

Будь это так, то у квадрата со стороной х единиц длины должна быть диагональ длиной у единиц. Площадь у ² построенного на диагонали квадрата должна быть вдвое больше площади х ² исходного квадрата. Это можно выразить формулой у ² = 2 х ².

Говорят, что великому греческому философу Аристотелю принадлежит обоснование того факта, что не существует таких целых чисел х и у , для которых было бы справедливо равенство у ² = 2 х ².

Допустим, однако, что такие числа существуют. Сначала Аристотель рассматривает случай, когда у — нечетное число. Тогда и у ², будучи нечетным числом, при умножении само на себя дает в результате нечетное число. В таком случае невозможно равенство у ² = 2 х ², потому что 2 х ², очевидно, делится на 2, то есть является четным числом.

Следовательно, у необходимо является четным числом, и у ², то есть число у , умноженное само на себя, должно делиться на 4.

Но тогда, заключил Аристотель, х не может быть нечетным числом, ибо если оно является нечетным, то х ², то есть число х , умноженное само на себя, является нечетным, и число 2 х ² делится на 2, но ни в коем случае не делится на 4, но оно должно делиться на 4, если верна формула у ² = 2 х ².

На основании этих рассуждений Аристотель делает следующий вывод: если существуют числа х и у , для которых справедлива формула у ² = 2 х ², то ни одно из этих чисел не может быть нечетным. Оба числа х и у должны быть четными.

Сторона квадрата, из которого мы исходили, должна, следовательно, иметь протяженность, равную четному количеству выбранных единиц длины, так же как четное количество единиц длины должно составлять протяженность его диагонали. Но, рассуждает дальше Аристотель, мы можем с равным успехом исходить из квадрата, у которого сторона и диагональ в два раза меньше, чем у квадрата исходного. Но и у этого квадрата длины сторон и диагонали должны выражаться четными числами единиц длины. Этот следующий квадрат мы снова можем уменьшить в отношении 1:2. Однако и в этом, меньшем квадрате длины сторон и диагонали опять-таки выражаются четными числами единиц длины.

Это последовательное деление сторон и диагоналей квадратов можно продолжать до бесконечности. Но как бы малы ни были стороны и диагонали квадратов, они все равно выражаются четными числами единиц длины, и поэтому и сторону и диагональ можно снова делить пополам.

Но это в конце концов приводит к абсурду, ибо стороны и диагонали квадратов содержат целочисленные значения единиц длины, и их невозможно произвольно делать сколь угодно малыми.

Поэтому, делает вывод Аристотель, вообще не существует целых чисел х и у , для которых справедливо равенство у ² = 2 х ². (В наше время, возможно, кто-то стал бы протестовать, потому что при х = 0 и при у = 0 равенство становится справедливым. Но греки, при всем их уме, не считали ноль числом, а оперировали только положительными целыми числами 1, 2, 3, 4, 5…) Именно поэтому отношение длины диагонали к длине стороны квадрата не может быть дробью.

Есть, однако, одержимые математикой люди, которые не могут удовлетвориться полученными результатами. Эти люди постоянно задают вопросы и пытаются найти более всеобъемлющие решения.

Так и в нашем случае. Если уж нет чисел х и у , для которых справедливо равенство у ² = 2 х ², то, может быть, существуют числа х и у , которые соответствуют справедливому равенству у ² = 2 х ² + 1. При таком малом добавлении, как «+1», все меняется пренебрежимо мало, но зато камня не остается на камне от аргументации Аристотеля. Действительно, оказывается, что в приведенном выше примере с числами х = 12 и у = 17 это уравнение верно, как верно оно и для многих других чисел. Более того, удалось доказать, что у этого уравнения бесчисленное множество решений.