Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Гиппарх учел, что тень Земли имеет не цилиндрическую, но коническую форму. Угол раствора этого конуса, который определяет уменьшение диаметра тени при удалении от источника света, Гиппарх смог вывести из величины солнечного диска. Умелое применение тригонометрических закономерностей, хорошо известных греческим математикам того времени, позволило Гиппарху измерить и рассчитать расстояние от Луны до Земли с относительной погрешностью всего в один процент.

Аргумент, выдвинутый изобретателями «исчисления», можно попытаться защитить следующим образом: с одной стороны, «бесконечное» обладает тем свойством, что если из «бесконечного» вычесть единицу, то оно все равно останется «бесконечным», а с другой стороны, удвоенное «бесконечное» является опять-таки «бесконечным». Отсюда можно утверждать, что сумма

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

может быть «бесконечной», и это вполне осмысленный результат. Тем не менее эта апология стоит на весьма шатком основании.

Во-первых, вычислять «бесконечное» не так просто, как вычислять конечные числа. Что, например, получится, если из «бесконечного» вычесть «бесконечное»? Любой человек, не задумываясь, ответит: ноль. Если, однако, второе «бесконечное» уменьшено на единицу по сравнению с первым «бесконечным», то разность должна быть равна единице, ибо второй «бесконечности» приписано на одну единицу меньше, чем первой. Кто-то может сказать, что если «бесконечное» вычесть из удвоенного «бесконечного», то получится снова «бесконечное», ибо из удвоенного «бесконечного» вычитают «бесконечное» одинарное. Короче, противоречие на противоречии.

Во-вторых, даже получение суммы частей уджата могло бы дать в результате бесконечность, ибо если поверить изобретателям «исчисления», то «бесконечное» обладает тем свойством, что, с одной стороны, «бесконечное», уменьшенное на одну вторую, остается «бесконечным» и что половина «бесконечного» опять-таки равняется бесконечности. С другой стороны, почему, собственно, на примере этой бесконечной суммы мы убеждены, что правильный ответ заключается в том, что сумма равна 1, а не бесконечности?

Приводим загадку Архимеда, отправленную им Эратосфену:

Сколько у солнца быков, найди для меня, чужестранец. (Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.) Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных Их в четырех стадах много когда-то паслось. Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым, Темной морской воды стада другого был цвет, Рыжим третье было, последнее пестрым. И в каждом Стаде была самцов множеством тяжкая мощь, Все же, храня соразмерность такую, представь, чужестранец, Белых число быков в точности было равно Темных быков половине и трети и полностью рыжим; Темных число быков четверти было равно Пестрых с прибавлением пятой и также полностью рыжим; Пестрой же шерсти быков так созерцай число: Части шестой и седьмой от стада быков серебристых, Также и рыжим всем ты их число поравняй. В тех же стадах коров было столько: число белошерстных В точности было равно темного стада всего Части четвертой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе; Темных число же коров части четвертой опять Пестрого стада равнялось, коль пятую долю добавишь И туда же быков в общее стадо причтешь. Те же, чья пестрая шерсть, равночисленным множеством были Рыжего стада частям пятой и с нею шестой. Рыжих коров же считалось количество равным полтрети Белого стада всего с частию взятой седьмой. Сколько у солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь, Нам раздельно назвав тучных быков число, Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было, Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя, Все же к мудрецам причислен не будешь. Учти же, пожалуй, Свойства такие еще солнца быков числа. Если быков среброшерстных ты с темными вместе смешаешь Так, чтобы тесно стали они бы в ширь и в длину Мерой равной, тогда на обширных полях сицилийских Плотным квадратом они площадь большую займут. Если же рыжих и пестрых в одно ты смешаешь стадо, Лесенкой станут они, счет с единицы начав, Так что фигуру они треугольную нам образуют; Цвета иного быков нам нет нужды добавлять, Если ты найдешь, чужестранец, умом пораскинув, И сможешь назвать каждого стада число, То уходи, возгордившись победой, и будет считаться, Что в этой мудрости ты все до конца превзошел.

Для любителей изысков приводим также юмористический перевод этого гекзаметра на немецкий язык, выполненный математиком Венского технологического института Александром Мельманом:

Hast du, Freund, den richt’gen Riecher, So berechne, wieviel Viecher — Lass uns nur von Rindern reden, Hornbewehrte Quadrupeden — Einst gehörten, hü und hott, Helios — dem Sonnengott, Auf Siziliens grüner Erde. Milchweiß war die erste Herde, Schwarz die zweite, zappenduster, Braun die dritte, Fleckenmuster Schmückte Rinderkuh und Stier In der Herde Nummer vier. Zahl die Stiere ganz in Weiß, Die erhält man nur mit Fleiß Aus der reinen Braunstier-Zahl Plus der Hälfte und nochmal Plus ein Drittel aller schwarzen Stiere, deren Zahl — ihr Parzen! — Glich der Stierzahl aller Braunen (Schon vernehm’ ich. Freund, Dein Raunen) Nebst dem viert- und fünften Teil Der gefleckten Stier’, derweil Die (der Zahl nach) sich summierten Aus der Braunen, wohlsortierten, Nebst dem Sechst- und Siebentel Weißer Stiere, die zur Stell’. Doch vergiss bei aller Müh’ Nicht des Sonnengottes Küh’. Statt die Zähn’ sich auszubeißen Beim Bestimmen all der weißen, Addier’ als Sonderfall Von der schwarzen Herdenzahl Nur ein Drittel und ein Viertel Und dann schnalle fest den Gürtel. Auch der schwarzen Kühe Nummer, Lässt sich finden ohne Kummer. Teil die Fleckviezahl durch Vier Und durch Funf und dann addier’! Elf durch dreißig der brünetten Rinder in Trinakriens Stätten Ist die Zahl der Küh’ mit Fleck. Rätselhaft bleibt noch der Zweck, Denn die Zahl der Braunviehdamen (Nichts zur Sache tun die Namen) Dividiert durch die der Rinder, Die so weiß, wie ihre Kinder, Sie ergibt ganz informell Ein Sechstel und sein Siebentel. Nennst du mir — getrennt nach Gender Und nach Farben der Gewänder (?) — All die Zahlen auf der Wiese, Bist fürwahr ein PISA-Riese! Zur Elite erster Klasse Ich dich erst gehören lasse, Wenn du lösest schnell wie‘ Pfeil Auch des Rätsels zweiten Teil. Wenn man sie zusammenführe Die Gesamtzahl aller Stiere, Die pechschwarz und weiß wie Schnee, So erhielt’ man ein Karree. Schichtet man der Stiere Rest Reihenweis’, wobei man lässt Jeweils in der nächsten Reih’ Gleich viel Hörner minus zwei, So benötigt man als Spitze Einen Stier nur (ohne Vize) Und die Rindviehformation Bildet glatt ein Dreieck schon.

(A. Mehlmann. Mathematische Seitensprünge: Ein unbeschwerter Ausflug in das Wunderland zwischen Mathematik und Literatur. Viehweg, 2007.)

В первой части ставится задача. Надо найти число рогатых тварей, именуемых в миру быками, которые пасутся на зеленых лугах Сицилии. Дальше говорится о том, что есть белые быки (их число мы обозначим w ) и белые коровы (их число мы обозначим W ), черные быки (их число мы обозначим s ) и черные коровы (их число мы обозначим S ), рыжие быки (их число мы обозначим b ) и рыжие коровы (их число мы обозначим B ), а также пестрые быки (их число мы обозначим g ) и пестрые коровы (их число мы обозначим G ). В третьей части фигурируют только быки. Здесь Архимед представляет следующие уравнения:

w = b + (½ + ⅓) s

s = b + (¼ + ⅕) g

g = b + (⅙ + 1/7) w