Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

Люди не единственные создания на Земле, кому принадлежит знание о числах. Животных также можно научить различать количество объектов. Естественно, никто не думает, что животные осознанно считают, однако несомненно то, что они могут различать числа.

Большинство из нас, играя в карты, никогда не обращает внимания на маленький номер в левом верхнем углу. Даже средний игрок в нем особенно не нуждается. В сопроводительных описаниях игры в карты вы также не найдете чисел. И это никого не беспокоит. Обычно мы узнаем нумерацию карты с первого взгляда и без подсчета.

Решающий момент в истории человечества наступил тогда, когда простых примеров стало недостаточно. Нетрудно заглянуть в пещеру и удостовериться, что оба ребенка на месте, или взглянуть на полку с каменными топорами, чтобы увериться в сохранности всех четырех. Но потребовалась более сложная информация, и в какой-то момент человек решил, что необходимо использовать числа. Скажем, надо пойти к соседу и сказать: «Послушай, старик, ты, случайно, не прибрал один из моих каменных топоров, когда прошлый раз заходил ко мне в пещеру?» И если сосед отвечал: «Господь с тобой, почему ты так думаешь?» — можно было привести следующий довод: «Послушай, дружище, у меня было четыре топора до твоего прихода, а после того, как ты ушел, осталось только три». В общем, оказалось, что очень удобно, когда каждое число имеет название.

Несомненно, поначалу было придумано всего несколько названий, которых было достаточно, только чтобы обобщать простейшую информацию.

Некоторые примитивные племена даже сегодня не имеют названий для чисел выше, чем два или три. (Это, конечно, не означает, что они не знают больших чисел. Скажем, они могли бы обозначить число четыре как «три и еще один».)

Почти во всех случаях тем не менее для первых десяти чисел существуют специальные названия: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять и десять.

Можно и дальше изобретать названия для чисел, больших десяти, но это создало бы серьезные трудности. Нелегко было бы запомнить специальные названия для «сорока трех», «семидесяти девяти» и далее до бесконечности. С другой стороны, название чисел от одного до десяти запомнить легко, ведь у нас на руках десять пальцев, а это своеобразная встроенная система памяти.

Человек говорил «четыре» и показывал четыре пальца; говорил «шесть» и показывал шесть пальцев. Слушающий видел пальцы и легко мог понять то, что подразумевал собеседник, даже если забыл, что означают слова «четыре» и «шесть».

«Палец» по-латыни — «digitus», и не случайно в английском языке, куда это слово было привнесено из латинского, приобрело новое значение. «Digit» по-английски означает цифру. Также вполне логично и то, что все первые десять чисел называются цифрами, то есть «digits», поскольку в древности эти два понятия, пальцы и числа, были фактически идентичны.

Может показаться, что существуют самостоятельные названия для чисел, больших десяти, но это не так. Язык со временем трансформируется, одни слова сменяют другие, и иногда при этом теряется первоначальное значение слов. Что означает слово «одиннадцать»? Это «один» над «цать», то есть один сверх десяти. «Цать» — это древнерусское обозначение десятка. По-английски «одиннадцать» — «eleven». Это слово пришло в английский из древнегерманского, где оно означает «на один больше».

Нетрудно представить себе такую картину. Один человек показывает другому десять пальцев и добавляет: «И еще один».

Точно так же было образовано слово «двенадцать», то есть «два» над «цать», «тринадцать», и так далее до двадцати, то есть до «двух десятков». В английском языке все обстоит точно так же. Двенадцать по- английски — «twelve», означает «два сверх», то есть два после десяти. После двенадцати все упрощается. Thirteen, тринадцать — это «три и десять», fourteen, четырнадцать, — это «четыре и десять», и так далее, до двадцати. Двадцать, twenty — это просто «два десятка», thirty — «три десятка», forty — «четыре десятка», и так далее до ста.

В русском языке исключением является слово «сорок». Почему мы говорим «сорок», а не «четыредесят»? Дело в том, что в древности на Руси считали «сороками», поэтому для четырех десятков было введено специальное слово. Говорили, что Москва — город «сорока сороков церквей», то есть в Москве было 40 × 40, или 1600 церквей. В те времена при расчетах использовали не только монеты, но и шкурки соболей. Сорок шкурок составляли один «мех», то есть число 40 было таким же граничным числом, как десять, сто, тысяча и т. д.

Можно ли использовать пальцы для обозначения чисел, больших десяти? Например, как показать на пальцах число 54? Как- то я видел молодого человека, который сначала быстро-быстро пять раз показал своему приятелю раскрытые ладони с растопыренными пальцами, а потом показал четыре пальца, то есть сначала пять десятков, или пятьдесят, а затем четыре, и всего 54. Все это прекрасно, за исключением того, что наблюдатель должен быть начеку, чтобы не пропустить одного или нескольких десятков. Обычно в таких случаях переспрашивают: «Пятьдесят четыре, да?» А это значит, что все представление с демонстрацией числа на пальцах было бесполезным.

Конечно, нам не приходится развивать навыки счета на пальцах, в школе мы изучаем совсем другие методы обращения с числами, и они гораздо эффективнее. Но если бы пришлось считать на пальцах, мы могли бы, например, договориться о следующей процедуре счета. Когда мы держим ладони внутрь, то число вытянутых пальцев указывает на число десятков. Когда ладони повернуты наружу, число пальцев указывает на число единиц.

Тогда то же число 54 можно было бы показать на пальцах следующим образом. Одну ладонь держите внутрь, показывая пять пальцев, а другую — ладонью наружу, показывая четыре пальца. Таким образом, двумя жестами можно изобразить любое число от 10 до 99.

Вот мы и добрались до десяти десятков, то есть до ста. «Сто» — это тоже слово, пришедшее из глубокой древности. Мы можем даже изобразить десять десятков, повернув ладони внутрь и показав десять пальцев.

А как быть, когда нужно изобразить одиннадцать десятков? Это тоже возможно.

Добравшись до сотни, мы продолжаем действовать таким же образом, как и раньше. Следующее за сотней число — это «сотня и один», то есть сто один. Что может быть яснее и проще? Мы продолжаем наш путь вперед, проходим разные числа, названия которых образуются по такой же простой схеме, например «сто и двадцать три» — это «сто двадцать три», «сто и семьдесят девять» — это «сто семьдесят девять», и так вплоть до «ста и девяноста девяти», то есть до «ста девяноста девяти». Теперь у нас уже две сотни, то есть двести. Таким образом, мы можем добраться до «девяти сотен и девяноста девяти», то есть до «девятисот девяноста девяти». Здесь удобно ввести принципиально новое название для числа, равного «десяти сотням». Это число получило название «тысяча», его происхождение тоже уходит в глубь веков.