Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

Затем такую же операцию произведем с прямоугольником длиной 9 дюймов и шириной 6 дюймов. После деления мы получим 54 квадрата площадью по 1 квадратному дюйму. Все эти действия показаны на рисунке.

В каждом случае квадраты по 1 квадратному дюйму расположены в горизонтальных рядах и вертикальных столбцах.

Количество квадратов в столбце соответствует длине квадрата или прямоугольника в дюймах, а количество квадратов в ряду — ширине квадрата или прямоугольника в дюймах.

В квадрате площадью 2 квадратных дюйма в каждом из двух столбцов — по два однодюймовых квадрата, 2 + 2 = 4. В трехдюймовом квадрате три столбика, содержащие по три однодюймовых квадрата, 3 + 3 + 3 = 9. В прямоугольнике 6 × 9 мм в каждом из 6 столбцов содержится по 9 однодюймовых квадратов, 9 + 9 + 9 + 9 + + 9 + 9 = 54. Можно просчитать прямоугольник по строкам. В каждой из 9 строк содержится по 6 однодюймовых квадратов, 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 54.

В общем виде процедура вычисления площадей геометрических фигур заключается в повторном сложении. В случае квадратов и прямоугольников такие вы- числения предельно просты. В случае треугольников и кругов — несколько сложнее. В случае площадей неправильной формы это уже достаточно сложная процедура. Однако площади умели вычислять еще в древних сельскохозяйственных цивилизациях (не будем сейчас обсуждать нашу высокотехнологичную цивилизацию). Уже в глубокой древности производили обмеры земельных участков и вычисляли их площади, как минимум, для того, чтобы определить сумму налога с участка. (У меня вообще есть подозрение, что в древности именно необходимость расчета налогообложения, а не что-либо другое, способствовала интенсивному развитию арифметики.)

Если необходимость повторного счета способствовала созданию операции сложения, то необходимость повторного сложения привела к возникновению нового вида операций с числами.

Начнем с того, что примем новое обозначение и запишем выражение «шесть раз по девять» как 6x9. Значок «х» называется знаком умножения. Такая запись означает, что складывают девять раз по шесть или шесть раз по девять. Как я уже показал на предыдущем примере и как вы можете убедиться самостоятельно, просчитав свой собственный пример, неважно, какую из двух операций вы сделаете: 6 × 9 = 9 × 6.

Используя это новое наблюдение, мы можем сформулировать общее правило для вычисления площади квадрата или прямоугольника. Площадь этих фигур равна произведению длины на ширину. Следующий необходимый шаг — найти простой способ осуществления операций умножения. Конечно, мы всегда можем воспользоваться повторным сложением, но такой способ неудобен и в случае больших чисел неэффективен.

Скажем, надо вычислить площадь прямоугольного участка размером 129 футов на 54 фута. Нам понадобится перемножить 129 на 54 или 54 на 129, чтобы получить ответ (в данном случае уже в квадратных футах, а не в квадратных дюймах). Это означает, что нам либо надо просуммировать сто двадцать девять раз число 54, либо, наоборот, пятьдесят четыре раза просуммировать число 129. И то и другое достаточно утомительно.

Или другой пример: на этот раз торговая сделка. Предположим, нам надо оплатить 254 дюжины каких-то предметов, которые стоят по 72 цента за дюжину. В этом случае нам придется умножить 254 на 72, то есть двести пятьдесят четыре раза просуммировать число 72. Такие задачи приходится постоянно решать в повседневной жизни, поэтому нам необходима простая и эффективная процедура умножения.

Здесь мы снова сталкиваемся с необходимостью заучивать что-то наизусть. Необходимо твердо знать таблицу умножения, куда входят все возможные комбинации чисел от 1 и до 9 × 9 включительно. Школьники затверживают выражения из таблицы, например 5 × 2 = 10, 7 × 8 = 56 и другие до тех пор, пока цифры не полезут у них из ушей. Но зато, как только этот барьер взят, ребенок понимает, что теперь он знает все, что необходимо для того, чтобы перемножать любые сколь угодно большие числа.

Очень также важно усвоить, что при умножении любого числа на ноль мы всегда получаем ноль. 5 × 0 = 0, 155 × 0 = 0, 14 856 734 × 0 = 0. И конечно, 0 × 0 = 0. Это утверждение легко проверить путем сложения. Если мы складываем пять нулей, мы получаем ноль, если мы складываем 155 нулей, мы опять получаем ноль, и, сколько бы нулей мы ни складывали, в результате мы всегда получим ноль.

Это значит, что если вы запомнили, что 7 × 3 = 21, то вы легко перемножите 70 на 3 или 7 на 30. 70 × 3 = 210, 7 × 30 = 210. Операции умножения не влияют на нули: если вы производите умножение 70 × 30, то оба нуля сохраняются: 70 × 30 = 2100.

Идем дальше. Нам надо перемножить числа, состоящие из разных цифр, отличных от нуля. Для этого мы разобьем число по разрядам, как мы это уже делали при операции сложения. Например, нам надо найти произведение от умножения 3965 × 7. (Произведение — это результат перемножения чисел, так же как сумма — это результат сложения.)

Число 3965 можно представить как 3000 + 900 + 60 + 5.

Теперь легко произвести умножение, поскольку каждое из чисел содержит только по одной значащей цифре, а остальные — нули.

Теперь легко произвести умножение, поскольку каждое из чисел содержит только по одной значащей цифре, а остальные — нули.

Неважно, в каком порядке производить перемножение. Это можно делать справа налево, слева направо и вразбивку. Я делаю это так, как меня научили в школе, то есть справа налево. Кроме того, в школе нас учат не разбивать числа на разряды и не обращать внимания на нули. Тогда запись предыдущего примера будет проще:

Преимущества такой записи при обучении очевидны: ученик быстро и легко осваивает умножение и может быстро перемножать большие числа. Недостаток данной формы записи при обучении состоит в том, что ученик выполняет операции умножения чисто механически и часто не представляет себе, почему он так сделал.

Помимо использования этой сокращенной формы записи, мы также учимся перемножать некоторые числа в уме. Но это все вопросы техники умножения, принцип при этом остается неизменным.

Когда надо перемножить два числа, каждое из которых больше десяти, возникают небольшие дополнительные сложности. При этом мы разбиваем оба числа на разряды и перемножаем каждую часть одного числа на каждую часть другого числа. Таким образом, если надо перемножить 35 и 28, мы делаем это по следующей схеме (стрелки на рисунке показывают порядок умножения, из такой схемы, по-видимому, появился знак умножения «×»).