Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

Сумма сомножителей числа 6 (1, 2 и 3) равна самому числу, то же самое относится и к числу 28 (1, 2, 4, и 7). Такие числа греки называли совершенными.

Есть еще одна забавная закономерность. Сумма сомножителей числа 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110) равна 284, и в то же время сумма сомножителей числа 284 (1, 2, 4, 71, 142) равна 220. Такие числа греки называли содружественными числами.

Разделение чисел на простые, совершенные, содружественные и так далее не имеет большой практической ценности, но в течение тысячелетий числовые закономерности вызывали восторг и любопытство математиков. Интерес к ним не угас и в наши дни.

До сих пор мы с вами имели дело с обычными числами, при помощи которых можно пересчитывать различные объекты: 1, 2, 3… Очень часто нам и не требуются другие числа.

Например, подобным числом может быть определено количество мальчиков в классной комнате. В комнате может быть 4 мальчика, 5 мальчиков или другое число мальчиков. В любом случае это будет вполне определенное число. Но вы никак не можете заявить: «Ну, я все тщательно подсчитал, и выяснилось, что в комнате больше чем 4 мальчика, но меньше чем 5. Я думаю, их какое-то промежуточное число, между 4 и 5».

Если вы считаете какие-то объекты, то между 4 и 5 для вас нет никаких других чисел. В комнате либо 4 мальчика, либо 5, но нет никакого промежуточного числа. Если в комнату, где уже находится 5 мальчиков, войдет еще 1, то в комнате окажется б мальчиков, причем ровно 6, а не около б или чуточку больше 6.

Однако если вы поинтересуетесь, сколько времени мальчики посвятили занятиям, вы можете получить приблизительный ответ: «Они занимались больше одного часа, я не уверен, но, по-моему, меньше двух часов».

В данном случае ответ не лишен смысла, поскольку существует отрезок времени, больший одного часа, но меньший двух часов. Время — это то, что измеряют, а не пересчитывают.

Пересчет и измерение — это разные процессы. При пересчете вы имеете дело с отдельными, или дискретными объектами. Те числа, которые мы с вами изучали в начале книжки, также являются отдельными, или дискретными, и они хорошо соответствуют дискретным объектам. При рассмотрении дискретных объектов нам и не нужны никакие другие числа.

Если же нам приходится измерять что- либо, что не состоит из отдельных объектов, задача сразу же усложняется. Теперь мы имеем дело с протяженностью, или с континуумом, то есть с продолжительностью времени какого-то процесса или длиной какой-нибудь линии.

Обычные дискретные числа не соответствуют протяженным величинам, и их нельзя использовать для измерения таких величин, не рискуя допустить неточность.

Для того чтобы избежать такого несоответствия, следует вставить в ряд дискретных чисел какие-то промежуточные числа. Когда мы это сделаем, числа 1, 2, 3, 4… становятся только малой частью бесконечной системы, которая соответствует таким понятиям, как время, длина, или любому другому континууму.

Со следующей главы мы начнем изучать такие числа, выясним их происхождение и освоим правила расчетов при помощи таких чисел.

Человечество не могло согласиться с ограничениями в делении. Предположим, надо разделить два яблока между четырьмя детьми. Совершенно бесполезно объяснять им, что такое деление невозможно, поскольку нет такого числа, которое после умножения на 4 даст 2. И ни одна мать так не сделает. Она попросту разрежет каждое из яблок пополам и даст каждому из детей половину (или приготовит из этих яблок пюре).

Следуя этой системе, человечество уже давно научилось разбивать основные единицы измерения на более мелкие и присваивать этим новым единицам собственные названия. Например, в американской системе измерения объема существует единица, называемая кварта, если кварту разделить пополам, получим две новые единицы, пинты. Если у вас есть две кварты пива, на которое претендуют четыре человека, то каждый получит по одной пинте.

Можно делить единицы и на числа, большие 2. Например, бушель (еще одна американская мера объема) можно разделить на 4 пека, а пек — на 8 кварт. Один фунт можно разделить на 16 унций, а 1 кварту на 32 жидкие унции. Все эти числа являются результатом деления какой-то величины на две части, затем каждую из этих частей снова делили пополам и так далее.

Можно, например, разделить 1 кварту между двумя людьми, если каждому дать по 16 жидких унций (а это как раз 1 пинта). А если надо разделить одну кварту между четырьмя людьми, то каждому можно дать по 8 жидких унций (то есть по полпинты). Если же у нас 8 человек, то каждому достанется по 4 жидкие унции (или по 1 джиллу).

Все это замечательно, но что делать, если надо разделить что-то между тремя? Мы не можем разделить кварту, в которую входят 32 унции, на три, поскольку 32 не делится на 3. Кварту удобно делить между 16 или 32.

Следовательно, было бы полезно выбрать какую-нибудь единицу, которая содержала бы максимальное количество сомножителей. Одним из таких чисел является 12. В одном футе 12 дюймов, 12 тройских унций содержится в тройском фунте, а 12 — это, как известно, дюжина.

Обратите внимание на дюжину, это очень полезная единица. Если у вас есть дюжина яблок, вы можете поделить их на две группы по 6, на 3 группы по 4, на 4 группы по 3, на 6 групп по 2, и на 12 групп по одному. Очень важно, что 12 делится не только на 2 и 4, но также и на 3.

Дюжины раньше часто использовали в торговле, ведь дюжину легко разбить на несколько более мелких частей различными путями. Существовала также единица, которая являлась дюжиной дюжин (это гросс), которая равнялась 12 × 12 или 144. У числа 144 много сомножителей. Это 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48 и 72.

Такая система удобна и практична, ее легко применять в повседневной жизни, и кое- кто даже жалеет о том, что в основе нашей системы исчисления лежит 10, а не 12. У числа 190 есть только два множителя, это 2 и 5. Десять не делится ни на 3, ни на 4. Единственная причина, по которой в основе системы оказалось число 10, — это то, что у нас по 5 пальцев на каждой руке. А вот если бы их было бы по 6…

У числа 10 есть одно преимущество перед 12. Число 10 делится на 5, а 12 — нет. Древние вавилоняне пытались соединить в одном числе все достоинства чисел 10 и 12. Такое число должно делиться не только на 2, 3, и 4, но и на 5. Наименьшим таким числом является 60. Это число используется и в астрономии. Год составляет 365 дней и несколько часов. Год — это то время, за которое Солнце совершает свой (кажущийся) круговой путь по небу относительно неподвижных звезд. Если полный круг разделить на величину пути, которое Солнце проходит за день (то есть на «путь-день»). Мы получим 365 долей круга.

У вавилонян год равнялся 360 дням (либо они неправильно вычислили продолжительность года, либо просто округлили 365 до 360 для удобства вычислений). С этим числом удобно работать, поскольку 360 — это 60 × 60. Поэтому они делили небесную сферу и другие круги на 360 равных частей, которые мы в наши дни называем градусами. Затем каждый градус они делили на 60 частей, которые мы называем минутами, а каждую минуту еще на 60 частей, на 60 секунд.