Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

(+12) : (+3) = +4;

(+12) : (-3) = -4;

(-12) : (+3) = -4;

(-12) : (-3) = +4.

Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения. Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3) × (-4) = (+12).

Поскольку мы определили деление как последовательное многократное вычитание, в результате которого получают ноль, оказывается, что оно не всегда возможно. Попробуем разделить 7 на 2.

В результате повторного вычитания мы получим 7 - 2 - 2 - 2 = 1, и здесь нам придется остановиться. Если мы вычтем еще одну двойку, мы окажемся в области отрицательных чисел. Даже если мы признаем существование отрицательных чисел, а древние о них не знали, мы не можем проводить вычитание в области отрицательных чисел. Предположим, мы делаем еще несколько шагов: 1 - 2 = -1, следующий шаг: -1 - 2 = -3, затем -3 - 2 = -5, и так до бесконечности. Где же нам остановиться? Похоже, наша система дала сбой.

Попробуем пойти другим путем. Вспомним о таблице умножения. Конечно, мы не найдем там числа, которое при перемножении на 2 даст 7, но 2 × 3 = 6, а 2 × 4 = 8.

Следовательно, если мы определяем деление как последовательное вычитание, то в каких-то случаях деление возможно, а в каких-то нет.

Древних греков изумляло это свойство чисел, и они дали ему своеобразное толкование.

Какие числа делятся на 2, а какие не делятся? 1 не делится, 2 делится, 3 не делится, 4 делится, 5 не делится, 6 делится…

Еще в древние времена числа разделили на те, которые делятся на 2, и на те, которые на 2 не делятся. Математики Древней Греции считали, что числа заключают в себе мистический смысл. По их представлениям, те числа, которые делятся на 2, имеют женское начало и являются несчастливыми. Те числа, которые не делятся на 2, греки считали мужскими и счастливыми. (Учтите, греческие математики были исключительно мужчинами и, конечно, все счастье присвоили себе.)

В обыденной жизни делимость числа на 2 имела большое значение, поскольку часто приходилось делить определенное количество предметов между двумя людьми. Делить по справедливости — это лучший способ избежать ссоры.

Самый простой способ справедливого дележа в те далекие времена, когда люди плохо разбирались в арифметике, — это разложить предметы в две кучки так, чтобы каждому предмету в одной стопке соответствовал один предмет в другой. Представим себе эти предметы в виде фишек, которые можно складывать в столбики (как показано на рисунке). Если общее число предметов делится на 2, то мы получим два столбика и в каждом — одинаковое количество фишек. Если вначале у нас было 16 фишек, то мы получим два столбика одинаковой высоты по 8 фишек, поскольку число 16 делится на 2, то есть является четным числом.

Если же вначале у нас было 17 фишек, то мы получим два столбика неравной высоты, в одном будет 8 фишек, а в другом на одну фишку больше, поскольку число 17 не делится на 2, то есть является нечетным числом. Делимость или неделимость на другие числа также подчиняется определенным зависимостям, но гораздо более сложным, чем разделение чет — нечет.

В области деления было сделано еще одно открытие: некоторые числа делятся нацело более чем на одно меньшее число. Например, 60 делится нацело на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30. Все эти числа называются делителями числа 60. Следовательно, у числа 60 есть десять различных множителей.

Кроме того, есть еще два множителя, о которых я говорил вам раньше. Это единица и само число 60. В конце концов, 60 : 60 = 1, поскольку любое число, поделенное на самое себя, дает единицу. Другой множитель — это 1. Действительно, 60 : 1 = 60. Любое число, поделенное на 1, остается неизменным, то есть 1 — это универсальный множитель.

Поскольку каждое число делится без остатка на единицу и на себя самое, греки, которые с удовольствием решали всякие головоломки, связанные с множителями, просто отбрасывали эти два множителя. Что же может быть в них интересного, если такие множители есть у всех чисел? (Кроме того, теперь мы можем сказать, что у каждого числа есть отрицательные множители. Например, у числа 60 — это -2, -3, -4, -5, -6, -10, -12, -15, -20 и -30. Но грекам отрицательные числа не были известны, и, кроме того, эти отрицательные сомножители фактически не дают нам никакой новой информации, поэтому эти сомножители мы также не будем рассматривать.)

Если у числа 60 10 сомножителей, то его соседям по числовой оси не так повезло. Например, у числа 58 только 2 сомножителя, 2 и 29, у числа 62 — 2 и 31. Независимо от того, сколько сомножителей имеет данное число, если такие сомножители существуют, такое число называется составным, поскольку его можно составить из других, меньших чисел, перемноженных между собой. Так, число 58 — это 2 × 29, а число 62 — это 2 × 31.

Число 60 более сложное, поскольку у него несколько сомножителей. Его можно представить как 2 × 30, но и число 30 является составным, и его можно представить как 2 × 15, причем 15 также составное число, равное 3 × 5. Таким образом, мы имеем 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

Мы не делали никаких попыток разбить на множители числа 2, 3 и 5. Да это и невозможно. Таким же числом, у которого нет других сомножителей, кроме единицы и себя самого, является 29 и 31. Другими словами, мы с вами убедились, что существуют числа, которые невозможно разделить без остатка на другие сомножители, кроме единицы и самого числа.

Числа, которые невозможно разбить на сомножители, называются простыми числами, в отличие от составных чисел, которые на множители разбить можно. Люди часто видят в числах какой-то мистический смысл, и с этой точки зрения могло бы показаться, что именно простые числа появились первыми, ведь любые составные числа получаются при перемножении простых чисел. Скажем, после того, как появились числа 2, 3 и 5, можно составить число 60, равное 2 × 2 × 3 × 5.

Может показаться, что если мы пойдем вверх по числовой оси, то возможность найти следующее простое число уменьшается и в конце концов какое-то простое число станет самым большим возможным простым числом. Но это не соответствует действительности. Еще 2200 лет тому назад греческий математик Эвклид доказал, что не существует такого сколь угодно большого простого числа, для которого нельзя было бы найти еще большее. То есть самого большого простого числа в принципе не существует.

Как я уже говорил, греки любили разгадывать разные числовые головоломки и выискивать закономерности. Например, они вычисляли суммы сомножителей, на этот раз включая единицу, для разных чисел и смотрели, что же получается. Они выяснили, что суммы сомножителей могут быть меньше, Или больше самого числа, или равны самому числу. Например, сумма сомножителей 10 (1, 2 и 5) равна только 8. Число 10 называется неполным числом. Сумма сомножителей числа 12 (1, 2, 3, 4 и 6) равна 16, то есть она больше самого числа. Такие числа, как 12, называются избыточными.