Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

При перемножении больших чисел мы используем ту же методику, но даже упрощенная схема умножения, которой нас учат в школе, требует значительного внимания, иначе можно запутаться в расчетах. Вы можете убедиться в этом на приведенном ниже примере:

Конечно, и такой метод не очень прост, но он все же гораздо практичнее, чем повторное сложение. Представьте себе, в последнем случае нам пришлось бы складывать 3965 + 3965 + 3965 + 3965 + 3965 + … и так 2197 раз.

В случае сложения противоположным действием является вычитание, для умножения также есть противоположное действие, которое называется деление. Если умножение — это последовательное многократное сложение, то деление — это последовательное многократное вычитание.

Предположим, вы хотите разделить 15 на 3, это действие записывается как 15 : 3, где знак «:» обозначает деление. Один способ выполнить это действие — последовательно вычитать 3 из 15. Так, 15 - 3 = 12, 12 - 3 = 9, 9 - 3 = 6, 6 - 3 = 3, 3 - 3 = 0. Мы добрались до нуля за пять действий вычитания, то есть 15 : 3 = 5.

Но так, конечно, никто никогда не делает. Вместо этого используют ту же методику, что и в случае умножения. Если мы поделим 15 на 3, мы получим какое-то число, после перемножения которого на 3 мы опять получим 15. Мы прошли вперед, вернулись назад и оказались на первоначальном месте. (С этим мы уже сталкивались при сложении и вычитании, которые также являются обратными процессами. Если 7 - 4 = 3, то 3 + 4 = 7).

Таким образом, нашу задачу можно сформулировать следующим образом. На какое число нужно умножить 3, чтобы получить 15? Не сомневаюсь, что вы прекрасно помните таблицу умножения, которую прочно вбивают в голову школьников с младших классов, и поэтому вы автоматически вспоминаете, что для того, чтобы получить 15, надо 3 умножить на 5.

Поскольку 5 × 3 = 15, следовательно, 15 : 3 = 5 и 15 : 5 = 3. Одна и та же строчка в таблице умножения дает ответ на две задачи деления.

Обратите внимание, при делении, так же как и при вычитании, порядок членов в выражении имеет значение. 5 × 3 равно 3 × 5, но 15 : 5 не равно 5 : 15. Число, находящееся слева от знака деления, называется делимым; число, находящееся справа от знака деления, называется делителем; результат деления называется частным. Таким образом, в выражении 15 : 5 = 3, 15 — это делимое, 5 — это делитель, а 3 — это частное.

То, что деление — это обратный процесс, а значит, наиболее сложная арифметическая операция, знает каждый школьник.

Предположим, вам нужно разделить 7715 на 5. Представляете, сколько раз придется последовательно вычитать 5 из 7715, чтобы добраться до 0 и получить ответ? Таблица умножения не дает ответа на этот вопрос. Что же делать?

В этом случае нам опять поможет умножение на 0. Вы знаете, что 1 × 5 = 5, следовательно, 1000 × 5 = 5000. Это число уже достаточно близко к 7715, но остается еще 2715. Разделим это число на 5. Из таблицы умножения вы знаете, что 5 × 5 = 25, значит, 500 × 5 = 2500, и теперь остается только 215. Пойдем дальше. Поскольку 4 × 5 = 20, следовательно, 40 × 5 = 200.

У нас остается только 15. Это число легко делится на 5, и мы знаем, что ответ — это 3.

Вначале мы умножили 5 на 1000, затем на 500, затем на 40 и, наконец, на 3. Сложим все результаты и получим 1543. Поскольку 1543 × 5 = 7715, следовательно, 7715 : 5 = 1543, это и есть ответ, то есть частное.

Задача деления на числа, большие 10, значительно сложнее, поскольку в таблице умножения максимальный множитель равен 10. Но принцип остается тем же самым, хотя нам приходится сначала «угадывать» ответ, а потом проверять, насколько он правильный.

(Тем не менее наши школьники сталкиваются с гораздо более простой задачей, чем математики древности, ведь у нас — арабские цифры. В те времена, когда арабских цифр еще не применяли, деление больших чисел, или «длинное деление», было настоящим искусством, доступным лишь очень опытным математикам.)

В начале этой главы я уже рассказал вам, как складывать и вычитать отрицательные числа.

Теперь давайте разберемся с умножением и делением.

Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?

Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3 × 4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3 × (-4) = -12.

Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4) × (-3) = -12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4) × (+3) = -12 и (+4) × (-3) = -12.

Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом. Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4) × (+3) = +12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.

А как перемножить два отрицательных числа?

К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.

Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения, сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.

Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3) × (-4) = +12.

Положение знака при умножении изменяется таким образом:

положительное число × положительное число = положительное число;

отрицательное число × положительное число = отрицательное число;

положительное число × отрицательное число = отрицательное число;

отрицательное число × отрицательное число = положительное число.

Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число. Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число.

Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению — для деления.