Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

К счастью, такого деления можно избежать.

Давайте вернемся к нашей предыдущей задаче, когда мы делили 10 на 5 равных частей. Мы получили ответ 2 в обоих случаях, то есть 10 : 5 и 10 × 1/5. Число 5 можно представить в виде дроби 5/1, а эту дробь можно рассматривать как перевернутую дробь 1/5. Такие дроби, то есть две дроби, у которых числитель первой равен знаменателю второй и, наоборот, знаменатель первой дроби равен числителю второй, называют обратными. Очевидно, 5/1 — это перевернутая дробь 1/5, то есть дроби 1/5 и 5/1 являются обратными, точно так же обратными являются дроби 2/3 и 3/2; дроби 55/26 и 26/55 и так далее. Далее, если мы утверждаем, что при делении 10 : 5 мы получаем тот же результат, что и при умножении 10 × 1/5, это означает, в свою очередь, что при делении на данное число мы получаем такой же результат, как и при умножении на число, обратное данному. (Обратите внимание, что только делитель можно заменять на обратное число, к делимому это не относится.) Раньше мы с вами уже убедились, что 10/21 : 5/7 = 2/3. Предположим, вместо деления мы провели умножение на обратную дробь: 10/21 × 7/5 = 70/105. Теперь разделим числитель и знаменатель этой дроби на 35. Мы получим 2/3, то есть именно тот результат, который и ожидали получить.

Теперь мы можем поделить 5/7 на 2/3, не опасаясь получить дроби внутри дробей, поскольку вместо деления мы проведем умножение на обратную дробь.

5/7 : 2/3 = 5/7 × 3/2 и получим ответ 15/14.

При перемножении дробей следует помнить, что порядок, в котором перемножаются дроби, не имеет значения. Например, 10/21 × 7/5 — это то же самое, что 10/5 × 7/21. В первом случае мы получаем ответ 10 × 7/21 × 5, а во втором — 10 × 7/5 × 21, наконец, в обоих случаях мы получаем результат 70/105, или (после деления на 35) 2/3.

Следует отметить, что второй вариант удобнее. В первом варианте дроби 10/21 и 7/5 невозможно сократить, во втором варианте дроби 10/5 и 7/21 легко сокращаются. 10/5 — это 2/1, а 7/21 — это 1/3, таким образом, выражение 10/5 × 7/21 преобразовалось в 2/1 × 2/3.

Удобнее работать с меньшими числами, поэтому обычно числитель и знаменатель дроби делят на одно и то же число, не делая никаких перестановок.

Например, в примере 7/10 × 17/49 можно разделить числитель одной дроби и знаменатель другой на одно и то же число (7). Тогда выражение упрощается и приобретает вид: 1/10 × 17/7. Такой пример решается гораздо легче, ответ 17/70, причем, разумеется, каким бы методом мы его ни решали, он не изменяется. Но второй способ, с привлечением сокращения дробей, значительно легче. Прием «сокращения» дробей при перемножении настолько удобен, что многие ученики пытаются внедрить его и при сложении. Но в этом случае прием не работает.

Сумма дробей 7/10 + 17/49 — это совсем не то же самое, что 1/10 + 17/7.

Сумма первого выражения равна 513/490, а второго — 1239/490.

Трудность заключается в том, что при сложении необходимо привести дроби к общему знаменателю. В данном случае это можно сделать, умножив числитель и знаменатель первой дроби на 49, а числитель и знаменатель второй дроби — на 10. Тогда мы получим 343/490 + 170/490.

Как только вы привели дроби к общему знаменателю, сокращение дроби теряет всякий смысл, потому что оно приведет к тому, что знаменатели дробей опять будут различаться, то есть сложение становится невозможным. Так что при сложении дробей советую вам забыть о сокращении.

Надо сказать, что с дробями не всегда удобно работать. Как бы ни записали дробь, 1 1/2, или 1 1/ 2, она нарушает стройность и логичность позиционной записи чисел.

Скажем, число 3143 3/ 4можно расписать при помощи позиционных величин. Это три тысячи плюс одна сотня плюс четыре десятка плюс три единицы и плюс три четвертых. Пока мы не добрались до этой злополучной дроби, все было логично. При переходе слева направо каждая следующая позиция равна одной десятой предыдущей. Другими словами, 1000 × 1/10 = 100; 100 × 1/10 = 10; 10 × 1/10 =1.

Все прекрасно, но почему нужно останавливаться на единице? Почему бы не продолжить этот ряд дальше направо, в область, меньшую единицы?

Он будет выглядеть вот так: 1 × 1/10 =1/10; 1/10 × 1/10 = 1/100; 1/100 × 1/10 = 1/1000 и так далее. Таким образом, если продлим позиционный ряд в область чисел, меньших единицы, мы получим десятые, сотые, тысячные и так далее.

Теперь рассмотрим дробь 1/2. Если мы умножим числитель и знаменатель на одно и то же число, в данном случае на 5, величина дроби при этом не изменится. В результате получим 1/2 = 5/10. Это означает, что число, подобное 55 1/ 2, можно представить в виде 55 5/ 10, или 55,5, или пятьдесят пять целых и пять десятых. Мы опять получили позиционное число, но теперь у нас есть дробная часть, отделенная от целой части запятой. Число 55,5 позиционное, и его можно прочесть как пять десятков плюс пять единиц плюс пять десятых.

Рассмотрим еще одну дробь, 3/4. Если мы умножим числитель и знаменатель на одно и то же число, в данном случае уже на 25, и при этом величина дроби не изменится. В результате получим 3/4 = 75/100, или 70/100 + 5/100, или 7/10 + 5/100. Это означает, что число подобное 55 3/ 4, можно представить в виде 55 75/ 100, или 55,75, или пятьдесят пять целых и семьдесят пять сотых. Мы опять получили позиционное число, и теперь у нас есть дробная часть, отделенная от целой части запятой. Число 55,75 позиционное, и его можно прочесть как пять десятков плюс пять единиц плюс семь десятых плюс пять сотых.

Дроби, представленные в виде определенного количества десятых, или сотых, или тысячных и так далее, то есть в виде позиционного числа, называются десятичными. Запятая, отделяющая целую часть от дробной, называется десятичной запятой.

Десятичную дробь, меньшую единицы, можно было бы записать как 7. Но существует реальная возможность того, что в процессе вычислений знак запятой потеряется и дробь превратится в целое число. Поэтому выбрали такую форму записи, когда отсутствующая целая часть заменяется нулем, и наша дробь приобретает вид 0,7 (то есть ноль единиц плюс семь десятых, но можно сказать просто семь десятых). Кроме того, 7/10 можно записать как 0,70, или 0,700, или 0,7000, или 0,700000000000. Добавление сотого, тысячного, десятитысячного и так далее знаков после последнего значащего числа в десятичной дроби не изменяет ее величины.

Основное преимущество десятичных дробей заключается в том, что сложение и вычитание можно производить, не думая о дробной части, и оперировать с дробным числом как с целым. Можно воспользоваться и счетами. Для этого ряд единиц надо расположить посередине счетов, вверх идут ряды десятков, сотен, тысяч и так далее, а вниз десятые, сотые, тысячные и так далее. На таких счетах можно складывать и вычитать и сотни, и сотые, и тысячи, и тысячные и так далее.

Те же правила справедливы при подсчетах на бумаге. Предположим, надо сложить 1 1/ 2+ 1 3/ 4, сохраняя выражение в обычных дробях. Сначала надо привести дроби к виду 3/2 + 7/4, затем приводим их к общему знаменателю 6/4 + 7/4, что равно 13/4, или 31/4.