Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

Почему же в Соединенных Штатах и Великобритании не переходят на удобную метрическую систему мер? Во-первых, в наши дни это потребует значительных капиталовложений, поскольку все станки, инструменты и системы конструирования придется переводить на новую систему измерений. Но основное препятствие — это приверженность традициям. Люди неохотно отказываются от привычных стереотипов, и для того, чтобы склонить их на сторону новой системы, потребовались бы принудительные меры со стороны правительства. А британцы и американцы не привыкли к принуждению. Это тоже традиция.

В то же время и британские, и американские ученые уже давно перешли на метрическую систему. Причем в Америке ее иногда применяют самым неожиданным образом. Например, когда экономистам и банковским работникам приходится проводить операции с большими суммами денег, они шутливо называют их «килобаксами» (слово «бакс», обозначающее доллар, пришло в разговорную речь из сленга игроков в покер). Миллионы баксов аналогично называют «мегабаксами». (Греческое слово «мега» означает «большой». В метрической системе это слово обозначает миллион.)

Я думаю, вы согласитесь со мной в том, что система десятичных дробей подобна раю на земле, особенно если ее сравнить с системой обычных дробей. Но как у любого рая на земле есть оборотная сторона, так и у системы десятичных дробей есть свои недостатки. Например, необходимо очень тщательно следить за положением десятичной запятой.

Например, рассмотрим пример умножения: 0,2 × 0,2.

Вы можете попробовать решить этот пример по аналогии со сложением: 2 + 2 = 4, также 2 × 2 = 4, тогда, поскольку 0,2 + 0,2 = 0,4. Возможно, и 0,2 × 0,2 = 0,4?

Нет, этого не может быть, и я сейчас докажу вам это.

Перейдем обратно к обыкновенным дробям, с которыми мы научились так хорошо обращаться. 0,2 = 2/10. Теперь перемножим дроби по старой методике: 2/10 × 2/10 = 4/100 (числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель). А 4/100 в десятичных дробях — это 0,04. Следовательно, 0,2 × 0,2 отнюдь не равно 0,4. 0,2 × 0,2 = = 0,04. Мы можем решить еще несколько примеров на умножение десятичных дробей, заменяя их на эквиваленты в обычных дробях. Например: 0,82 × 0,21 = 0,1772, а 0,82 × 2,1 = 1,772. (Это можно проверить следующим образом:

82/100 × 21/100 = 1722/10000, а 82/100 × 21/10 = 1722/1000.)

Теперь мы можем сформулировать общее правило: при перемножении десятичных дробей количество цифр справа от десятичной запятой в ответе равно общему количеству цифр справа от десятичной запятой в перемножаемых числах.

Так, при умножении 0,2 × 0,2 общее количество цифр справа от десятичной запятой в перемножаемых числах равно 2, и это означает, что 0,2 × 0,2 = 0,04 (ноль справа от десятичной запятой также является значащей цифрой).

Естественно, что если один из сомножителей является целым числом, то он не влияет на положение десятичной запятой. Положение десятичной запятой в произведении будет таким же, как и в том сомножителе, который является десятичной дробью.

То есть 0,2 × 2 = 0,4; 1,5 × 5 = 7,5; а 1,1 × 154 = 169,4.

Эти результаты соответствуют правилу умножения, и в любом случае количество цифр справа от десятичной запятой в ответе равно общему количеству цифр справа от десятичной запятой в перемножаемых числах.

Определить положение десятичной запятой в случае деления можно по аналогичной методике, действуя в обратном порядке. Но обычно при делении процедуру стараются упростить и приводят делитель или знаменатель (если деление проводят с помощью обычных дробей) к виду целого числа, не содержащего значащих чисел справа после запятой.

Предположим, нам надо 1,82 разделить на 0,2. Это выражение можно записать как 1,82/0,2. Не изменяя величины дроби, умножаем числитель и знаменатель на 10. Тогда 1,82 × 10 (в соответствии с правилом определения положения десятичного знака) равно 18,20, или 18,2, поскольку ноль, стоящий справа после последней значащей цифры, не изменяет величины числа и, следовательно, его можно опустить. Точно так же 0,2 × 10 = 2,0, или просто 2 (поскольку 2 плюс ноль десятых равно 2).

Следовательно, дробь можно записать как 18,2/2, и теперь знаменатель является целым числом, следовательно, при делении положение десятичного знака после запятой не меняется, так же как и в случае деления. Раз в числителе одна значащая цифра справа после запятой, то и результат должен иметь одну значащую цифру справа после запятой, то есть 18,2/2 =9,1.

Освоив деление десятичных дробей, мы сможем переводить обычные дроби в десятичные. Предположим, нам нужно найти десятичный эквивалент для 1/40. Мы можем представить эту дробь в виде 1,000/40, а затем произвести деление. Поскольку мы делим на целое число, то положение десятичной запятой не меняется. Проведем деление:

Таким образом, мы показали, что десятичный эквивалент 1/40 равен 0,025. Это можно проверить, переведя 0,025 в обычную дробь.

0,025 = 2/100 + 5/1000, или 20/1000 + 5/1000, или 25/1000, или если произвести деление, то получим 1/40, как мы и предполагали.

Вернемся к примерам умножения на 10. В предыдущих параграфах мы умножали 1,82 на 10 и получили 18,2. Обратите внимание, что умножение на 10 фактически просто сводится к тому, что мы перемещаем знак десятичной запятой на единицу вправо. Точно так же умножение на 100 сводится к перемещению знака десятичной запятой на две единицы вправо, а умножение на 1000 — соответственно на три единицы. В этом вы легко сможете убедиться самостоятельно.

Деление на 10 сводится к действию, обратному умножению, в данном случае к перемещению знака десятичной запятой на одну единицу влево, деление на 100 — на две единицы влево, а деление на 1000 — соответственно на три единицы влево.

Поскольку 1,82 : 10 согласно правилу обратных дробей равно также 1,82 × 0,1, что, в свою очередь, равно 0,182. Такой же ответ мы бы получили, если бы согласно правилу перемещения десятичной запятой передвинули запятую на один знак влево.

Поскольку умножение или деление на 10 приводит просто к сдвигу положения десятичной запятой, удобно перейти к процентам.

Давно стало привычным, что люди или организации, которые предоставляют деньги в долг, получают обратно помимо одолженной суммы определенную добавочную сумму в оплату за предоставление кредита. Эта сумма получила название «процент».

Эта сумма предоставляется в качестве компенсации за то, что кредитор остается на какое то время без своих денег, кроме того, она является компенсацией риска не получить своих денег назад. Например, частное лицо или организация могут попросить 6 долларов годовых процентов за каждые одолженные 100 долларов.