Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

Последовательное перемножение одного и того же числа на себя самое является операцией, которая очень часто используется в математике. В свое время, когда мы рассматривали повторные многократные операции сложения, мы ввели новое понятие и новую математическую операцию — умножение. Например, мы заменили 6 + 6 + 6 + 6 на 6 × 4. Точно так же часто используемую операцию умножения 6 × 6 × 6 × 6 можно кратко записать при помощи нового символа, степенного выражения: 6 4.

Что означает 6 4? Только то, что мы перемножаем число 6 на само себя четыре раза, или 6 × 6 × 6 × 6. Число 10 5— это 10 × 10 × 10 × 10 × 10, а 3 2— это 3 × 3.

Можно записать ряд квадратов чисел (1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 2, 7 2и так далее) и ряд кубов чисел (1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 3, 7 3и так далее).

Число, которое набрано мелким шрифтом справа вверху от основного числа, называется показателем степени, или экспонентой. Число, содержащее экспоненту, называется экспоненциальным числом. Число, которое возводят в степень, то есть умножают само на себя, называют основанием экспоненциального числа. В выражении 6 4число 6 — это основание, 4 — экспонента.

Повторное перемножение числа на самое себя называется возведением в степень. Так, 6 4— это шесть в четвертой степени, аналогично 10 5— это десять в пятой степени. Можно также сказать просто: шесть в четвертой или десять в пятой. 3 2и 3 3можно назвать как три во второй или три в третьей, но чаще, следуя греческой традиции, их называют три в квадрате или три в кубе.

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 — это 4 × 4, а 64 — это 4 × 4 × 4. То есть 16 на 64 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2 × 2 × 2 × 2, а 64 как 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем экспоненциальные выражения. 16 = 4 2, или 2 4, 64 = 4 3, или 2 6, в то же время 1024 = 64 × 16 = 4 5, или 2 10.

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2× 4 3= 4 5или 2 4 × 2 6= 2 10, и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что каждый раз правило сложения показателей степени, или экспонент, при умножении справедливо, разумеется, при том условии, что основания комплексных сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4× 2 2× 2 14= 2 20, а 84 × 87 = 7308.

Это правило справедливо также и при делении, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого. Таким образом, 2 5: 2 3= 2 2, что в обычных числах равно 32 : 8 = 4, то есть 2 2.

С первого взгляда может показаться, что такой метод не очень удобен, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3и 24, но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8 × 9 — это 2 3× 3 2, и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5и ни 3 5не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огромные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Для того чтобы легче было двигаться дальше, давайте подробнее рассмотрим понятие экспоненты и попробуем дать ей более обобщенное толкование.

До сих пор мы считали, что экспонента — это количество одинаковых сомножителей. В этом случае минимальная величина экспоненты — это 2. Однако если мы производим операцию деления чисел, или вычитания экспонент, то можем получить также число меньше 2, значит, старое определение нас больше не может устроить.

Например, 16 : 8 = 2. Поскольку 16 = 2 4, а 8 = 2 3, следовательно, деление можно в экспоненциальном виде записать как 2 4: 2 3= 2, но если мы будем вычитать экспоненты, то 2 4: 2 3= 2 1. Таким образом, нам приходится признать, что 2 и 2 1— это одно и то же, следовательно, 2 1= 2.

То же правило применимо и к любому другому экспоненциальному числу, таким образом, можно сформулировать правило в общем виде: любое число, возведенное в первую степень, остается без изменения. То есть 5 1= 5, 27 1= 27 и так далее.

Но дальше все становится сложнее. Чему равно 8 : 8? Конечно, единице. Но 8 = 2 3, следовательно 2 3: 2 3= 1. Но если мы вычтем экспоненты, получим ноль 2 3: 2 3= 2 0. Значит ли это, что 2 0= 1? Кажется, так оно и есть.

Этот вывод, возможно, привел вас в изумление. Еще можно как-то понять смысл выражения 2 1= 2, хотя выражение «одно число два, умноженное само на себя» звучит достаточно странно. Но выражение 2 0означает «ни одного числа два, умноженного само на себя», то есть кажется логичным, чтобы 2 0равнялось нулю. Возможно, это и логично, но математики отнюдь не следуют правилам обычной повседневной логики. Вас это шокирует? Математики руководствуются общими закономерностями и необходимостью взаимной совместимости постулатов. Иными словами, математики могут принять самые невероятные правила, которые с обывательской точки зрения могут показаться просто безумными. Но эти правила не должны противоречить одно другому, какие бы результаты ни получались. Правило сложения и вычитания экспонент работает настолько хорошо, что если для того, чтобы его применять, необходимо, чтобы 2 0= 1, значит, так и должно быть. Мы просто принимаем, что утверждение 2 0= 1 верно.

Если мы будем не 2 3делить на 2 3, а 6 3будем делить на 6 3, то опять получим, что 6 0= 1. Мы можем проверить одно число за другим, и каждый раз будем получать один и тот же результат: любое число в степени 0 равно 1.

Пойдем дальше. При делении 64 на 128 мы получаем ответ 64/128, или 1/2. В экспоненциальной форме наша задача приобретает такой вид: 2 6: 2 7. Ответ 2 -1, или 1/2 , или, в экспоненциальной форме, (1/2) 1.

Аналогично 32 : 128 = (1/4). В экспоненциальной форме наша задача приобретает такой вид: 2 5: 2 7. Ответ 2 -2, или 1/4, или, в экспоненциальной форме, (1/2) 2.

Можно привести еще множество примеров, и каждый раз мы обнаружим, что отрицательная экспонента становится положительной при переходе к обратному числу. Другими словами, 4 -7= (1/4) 7, а 10 -3= (1/10) 3. Это правило справедливо для любых чисел. 6 4= (1/6) -4.

Я могу привести вам несколько примеров, которые продемонстрируют, что такое толкование понятия «экспонента» непротиворечиво. Давайте проверим, равны ли выражения 6 -4и (1/6) 4? Выражение (1/6) 4можно представить в виде 1 : 6 4. Но 1 равна 6 0, таким образом, наше выражение приобретает вид 6 0: 6 4. Вычитаем экспоненты и получаем 6 -4, как и следовало ожидать.