Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

Кроме того, случайно оказалось, что число 1 24/ 25, будучи умноженным на себя самое, дает результат, близкий к 2. Отсюда следует, что 1 2/ 5близко к √2. Только 1/25 отделяет нас от искомого ответа, так как (1 2/ 5) 2— это 1 24/ 25, а нам нужно получить число 1 25/ 25, то есть 2.

Но можно получить и более точный ответ. Если помножить дробное число 1 41/ 100на себя самое, мы получим 1 9881/ 10000, что гораздо ближе к 2. Может показаться, что, если делать более точные вычисления, мы рано или поздно найдем точное значение дробного числа, которое является корнем квадратным из 2, хотя, возможно, это будет очень сложное число.

Но так ли это, вот в чем вопрос.

Сравниваем линии

Впервые поиском корня квадратного из 2 занялись еще математики Древней Греции. Как я вам уже говорил, они в первую очередь были геометрами, их интересовали соотношения длин отрезков геометрических фигур. Например, если провести диагональ в прямоугольнике, как показано на рисунке, то в каком соотношении будут находиться длина диагонали и длины сторон прямоугольника? Очевидно, что диагональ длиннее, но насколько? Древние греки хотели найти ответ на этот вопрос.

Предположим, мы сравниваем два отрезка. Длина одного из них 2 см, а длина другого — 1 см. Следовательно, мы можем сказать, что длины отрезков соотносятся как 2 к 1, или один отрезок в два раза длиннее другого. Длина одного из отрезков 4 см, а длина другого — 2 см, то можно сказать, что длины отрезков соотносятся как 4 к 2.

В обоих случаях длина одного из отрезков вдвое больше длины другого отрезка. С точки зрения математика, соотношение величин представляет гораздо больший интерес, чем их абсолютные значения. Не так важно, что в одном случае длины равны 4 и 2 см, а в другом 48 и 24 см. Математик в обоих случаях обратит внимание на то, что длина одного отрезка вдвое больше длины другого, то есть соотносятся как 2 к 1.

Самое удобное — представить соотношение величин в виде дроби. Если длина одного отрезка равна 2 см, а длина другого — 1 см, значит, их соотношение равно 2/1. Если длина одного отрезка равна 48 см, а длина другого 24 см, значит, их соотношение равно 48/24 или 2/1, если мы разделим обе части на 24.

Дробь, представляющая собой отношение двух однотипных величин, называется соотношением. (Этими величинами могут быть и длины отрезков, и объемы сосудов, и веса двух человек и так далее.)

Разумеется, соотношение может не быть таким простым, как 2 : 1. Предположим, длина одного отрезка равна одному сантиметру, а длина другого — 1 9/ 10сантиметра.

Тогда соотношение равно 1 9/ 10/1. Это выражение можно упростить, умножив верхнюю и нижнюю части на 10. Тогда получим, что соотношение равно 19/10.

Соотношение любых двух чисел, выраженных дробными числами, может быть представлено как отношение двух целых чисел. Например, у нас есть два отрезка, длина одного из них — 2 4/ 17сантиметра, а длина другого — 1 13/ 15сантиметра. Соотношение этих двух отрезков можно представить в виде дроби — 2 4/ 17/1 13/ 15. Если мы умножим числитель и знаменатель этой пугающе сложной дроби на 127½, то получим то же соотношение в виде целых чисел, то есть 285/238.

(Гораздо проще было бы воспользоваться десятичными дробями, но в Древней Греции они не были известны. А если мы последуем по тому же пути, по которому древние математики познавали мир, наше путешествие будет значительно интереснее.)

Теперь можно вернуться к нашему прямоугольнику. Нас интересует соотношение длин сторон прямоугольника и длин диагонали, то есть мы решаем ту же задачу, что и греческие математики в древности. Поскольку прямоугольник разделяется диагональю на две абсолютно симметричные части, мы можем упростить задачу и отбросить одну половину фигуры, предположим, левую. У нас остался так называемый прямоугольный треугольник.

Еще за много столетий до наших дней египтяне на основе практического опыта установили, что если одна сторона прямоугольного треугольника равна 3 единицам, а другая — 4 единицам, то длина гипотенузы составит 5 единиц. В этом случае соотношение гипотенузы и одной из сторон равно 5/4 для более длинной стороны и 5/3 для более короткой.

Греки подошли к задаче с более общих позиций. Им важно было найти закономерность, то есть соотношение длин сторон прямоугольника и длин диагонали для любого прямоугольного треугольника.

Как гласит история, великий греческий математик Пифагор такую закономерность открыл. Он установил, что для любого прямоугольного треугольника верно следующее утверждение: сумма квадратов сторон равна квадрату гипотенузы. Это утверждение получило название теоремы Пифагора. Теорема до сих пор носит имя великого грека, хотя теперь мы знаем, что еще за 600 лет до Пифагора древним китайцам уже было известно это соотношение.

Проверим теорему для треугольника со сторонами 3 и 4. Квадрат одной из сторон равен 3 × 3 = 9, квадрат другой стороны равен 4 × 4 = 16. Сумма квадратов равна: 9 + 16 = 25, то есть квадрат гипотенузы равен 25, следовательно, гипотенуза равна 5.

Рассмотрим другой треугольник со сторонами 5 и 12.

Сумма квадратов сторон этого треугольника равна 5 × 5 + 12 × 12 = 25 + 144 = 169. Следовательно, 169 — это квадрат гипотенузы. Тогда гипотенуза равна √169, или 13, поскольку 13 × 13 = 169.

Для этого треугольника соотношение гипотенузы к стороне равно 13/5 для короткой стороны и 13/12 для длинной стороны.

Используя теорему Пифагора, можно найти соотношение гипотенузы и любой из сторон любого прямоугольного треугольника. Математики Древней Греции могли вздохнуть спокойно, задача была решена. Самое главное заключалось в том, что теорема распространялась на все прямоугольные треугольники, в том числе, разумеется, и на равносторонние, то есть на прямоугольные треугольники, у которых обе стороны равны. А нас сейчас интересуют именно такие треугольники.

Один из них представлен на рисунке.

Максимально упростим задачу и предположим, что стороны треугольника равны 1. Тогда квадрат стороны равен 1 × 1, а сумма квадратов сторон равна 1 × 1 + 1 × 1 = 2. Согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен 2, а гипотенуза равна соответственно √2.