Айзек Азимов - Числа: от арифметики до высшей математики

Если вы произведете подобные действия с различными экспоненциальными выражениями, различающимися как основанием, так и показателем степени, вы сможете убедиться, что существует правило, общее для всех экспоненциальных выражений: при возведении экспоненциального числа в степень показатели степени перемножаются. Это означает, что, не производя расчетов, мы всегда можем сказать следующее: (3 5) 2= 3 10, а (7 8) 7= 7 56и так далее.

Если это утверждение верно, то, очевидно, оно будет верно и для дробного показателя степени. Рассмотрим число (2 4) ½.

Следуя правилу перемножения экспонент, получим (2 4) ½= 2 2. Далее, поскольку 2 4= 16, а 2 2= 4, то мы можем утверждать, что 16 1/2= 4.

Но мы также знаем, что 4 — это квадратный корень из 16, значит, возведение числа в степень ½ равносильно извлечению из этого числа квадратного корня. Другими словами, 16 1/2= √16.

Далее, следуя этому правилу, можно утверждать, что 16 1/3= 3√16, 16 1/4= 4√16 и так далее. Теперь мы ввели в обиход дробные экспоненты, о которых я обещал вам рассказать еще в шестой главе. Обратите внимание, √2 невозможно представить в виде конечной дроби, но можно — в виде экспоненциального выражения с дробной экспонентой.

Что же означает дробная экспонента? Например, выражение 16 3/2— это то же самое, что (16 3) 1/2, поскольку 3 × 1/2 = 3/2. Следовательно, 16 3/2= √16 3.

Или, обобщая, можно сказать, что в случае дробной экспоненты основание возводится в степень, равную числителю экспоненты, и из него извлекается корень, равный знаменателю экспоненты.

Следовательно, 2 567/235— это корень 235-й степени из 2, возведенных в 567-ю степень.

Очевидно, такие дробные экспоненты очень громоздки. А нельзя ли перейти на десятичные дроби? Ведь мы помним, что 1/2 — это 0,5, так что вместо 4 1/2можно написать 4 0,5. Любая десятичная экспонента имеет свое значение. Например, 2 5,175—это 2 207/40, поскольку 5,175 = 207/40. В свою очередь, число 2 207/40получается при возведении 2 в степень 207 и извлечении из полученного результата корня 40-й степени. (Можно поменять местами операции. Если мы сначала извлечем из 2 корень 40-й степени, а затем возведем этот промежуточный результат в 207-ю степень, мы получим тот же окончательный результат. Это утверждение вы легко можете проверить на более простом примере, например на выражении 4 3/2. Квадратный корень из 4 3— это √64, что равно 8. В то же время куб √4 равен 2 3, что также равно 8.)

Значение выражения 2 207/40(или любого другого выражения, где экспонента является целым, дробным, десятичным, положительным или отрицательным числом) может быть вычислено при помощи соответствующих математических методов. При этом вам не пришлось бы двести семь раз перемножать 2 или искать путем последовательных приближений корень сороковой степени. 2 207/40= 36,126.

Эта величина приблизительная, поскольку 2 207/40является иррациональным числом, как и большинство выражений с дробными или десятичными экспонентами. Десятичный эквивалент 2 207/40 — это бесконечная непериодическая дробь, но мы всегда можем получить столько десятичных знаков после запятой, сколько требуется в соответствии с требованиями по точности конкретных вычислений.

Используя любое число в виде основания экспоненциального выражения, мы можем составить соответствующее экспоненциальное выражение для любого другого числа. Теперь мы можем вернуться к моей задаче об умножении 7 × 17, которая возникла у нас еще в шестой главе. Число 7 можно представить как 2 2,81, как 3 1,77или как 5 1,21(существуют специальные методы для вычисления экспоненциальных эквивалентов), в то же время 17 равно 2 4,08, 3 2,58или 5 1,76. Теперь задачу умножения можно свести к сложению: 7 × 17 = 2 2,81× 2 4,08= 2 2,81+4,08= 2 6,89, или 3 1,77× 3 2,58= 3 4,35, или 5 1,21× 5 1,76= 5 2,97. Все эти числа, 2 6,89, 3 4,35, 5 2,97, приблизительно равны между собой и приблизительно равны 119, это и есть ответ.

Конечно, было бы гораздо проще просто перемножить 7 × 17 вместо того, чтобы находить значения экспоненциальных выражений. Кроме того, вместо точного ответа мы получим приближенный. Однако посмотрим, что будет дальше. Возможно, этот метод окажется незаменимым. Обратим внимание на основания экспоненциальных выражений. Мы выбрали 2, 3 или 5. А почему не выбрать число 10, ведь 10 — это основа нашей системы счета.

Одной из причин, заставившей ученых настойчиво вводить экспоненциальные числа в практику, явилась необходимость работать с очень большими или очень маленькими числами. Например, масса Земли равна приблизительно 6000000000000000000000000000 грамм, а масса атома водорода — 0,00000000000000000000000166 грамма.

Вы, конечно, заметили, что при такой записи нетрудно потерять один или несколько нулей. В процессе работы ученые разработали метод выражения чисел, когда часть числа является обычным числом, а часть — экспоненциальным. Основой экспоненциальной части является число 10 (в конце предыдущей главы я намекал на эту возможность).

Число 10, возведенное в степень, позволяет представить в удобной форме как очень большие, так и очень маленькие числа. Это видно из приведенной ниже таблицы, которую вы можете проверить, произведя самостоятельные расчеты.

Для того чтобы убедиться в том, что число 10 хорошо вписывается в нашу систему счета, рассмотрим число 4372,654. Разобьем его на разряды и получим 4 тысячи, 3 сотни, 7 десятков, 2 единицы, 6 десятых, 5 сотых и 4 тысячные. Теперь вспомним, что 1000 = 10 3, 100 = 10 2, 10 = 10 1и так далее, и запишем число 4372,654 как (4 × 10 3) + (3 × 10 2) + (7 × 10 1) + (2 × 10 0) + (6 × 10 -1) + (5 × 10 -2) + (4 × 10 -3). 

Таким образом, мы записали на бумаге те операции, которые уже тысячи лет производят на счетах. Если ряд единиц на счетах пометить как «ноль», ряды, расположенные выше ряда единиц, обозначаем как 1, 2, 3 и так далее, а ряды, расположенные ниже ряда единиц, соответственно обозначаем как -1, -2, -3, то каждый ряд соответствует показателю степени числа 10.

Все положения арифметики, которые мы изучали, используя арабские числа, можно легко объяснить при помощи этих степеней, чего обычно не делают в школах.

Мы потратим немного времени на то, чтобы разобраться с экспоненциальными числами, и в будущем это значительно облегчит нам работу с числами.

Вначале рассмотрим положительные степени числа 10. Заметим, что в данном случае экспонента равна количеству нулей обычного числа. Таким образом, если число нулей в 1 000 000 равно шести, то экспоненциальная форма этого числа 10 6.

Теперь, когда нам понадобится выразить в экспоненциальной форме число, состоящее не только из единиц и нулей, нужно записать его в виде выражения, включающего 10 в какой-то степени. Например, масса Земли, как мы выяснили в начале главы, равна 6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 грамм. Это число можно представить как 6 × 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 грамм. Теперь самое большое число в выражении состоит из единицы и большого количества нулей, то есть его можно представить в виде степени. Поскольку количество нулей равно 27, то число можно записать в форме 10 27. Теперь массу Земли можно представить в экспоненциальном виде как 6 × 10 27грамм.