Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

1 × 3 1 × 33 + 1 + 1 × 3 1 × 3 + 1 + 1 × 3 = 3 33+ 1 + 3 3 + 1 + 3 =3 28 + 3 4 + 3 = = 22 876 792 455 045

В таком раздувании действительно что-то есть.

Теперь будет полезным ввести для раздувания соответствующие обозначения. Мы записываем тот факт, что число a представляется по основанию b , следующим образом: b ( a ), и включаем в это представление все показатели степени, а также показатели показателей, чтобы в этом представлении нигде не встречались числа, большие b . Затем в этом представлении все числа b заменяют числом, большим, чем b на единицу, то есть на b + 1; в этом случае число a раздувается от основания b к основанию b + 1. Результат, полученный в этом случае Гудстейном, мы обозначим b + 1Ω b ( a ). Имеем 6Ω 5(42) = 56, 8Ω 7(42) = 48, 11Ω 10(42) = 46 и 3Ω 2(42) = 22 876 792 455 045.

Оказывается, что раздувание числа имеет место только в том случае, если основание b не превышает число a , подлежащее раздуванию. Так, например, представление 42 по основанию 43 есть не что иное, как само число 42, и замена 43 на 44 дает тот же результат. То есть 44Ω 43(42) = 42. Естественно, 100Ω 99(42) = 42, и вообще для каждого основания b , большего 42, будет справедливо равенство b +1Ω b (42) = 42. Если, однако, основание b намного меньше числа a , то величина b +1Ω b ( a ) буквально взрывается.

Теперь мы подошли к главному, к тому, ради чего Гудстейн изобрел понятие раздувания числа. Гудстейн исходил из некоторого числа a 1. Сначала он представляет число a 1 по основанию 2, то есть образует 2( a 1), а затем раздувает это число от основания 2 к основанию 3, то есть вычисляет 3Ω 2( a 1). Из полученного таким способом числа он вычитает единицу и называет результат a 2. То есть a 2 = 3Ω 2( a 1) — 1. Это число Гудстейн представляет по основанию 3 и раздувает его от основания 3 к основанию 4, то есть вычисляет 4Ω 3( a 2). Следующее число a 3 этой последовательности он получает, вычитая из этого результата единицу, то есть a 3 = 4Ω 3( a 2) — 1. Теперь Гудстейн представляет число a 3по основанию 4, раздувает его от основания 4 к основанию 5, то есть образует число 5Ω 4( a 3) и для того, чтобы получить число a 4, вычитает из результата единицу: a 4 = 5Ω 4( a 3) — 1. Дальше он продолжает в том же духе. Вот члены этой последовательности:

a 1 , a 2 = 3 Ω 2 ( a 1 ) — 1, a 3 = 4 Ω 3 ( a 2 ) — 1, a 4 = 5 Ω 4 ( a 3 ) — 1, a 5 = 6 Ω 5 ( a 4 ) — 1….,

или, в общем виде, a n = n + 1Ω n ( a n — 1) — 1.

Рассмотрим для примера последовательность Гудстейна при a 1 = 3: имеем 2(3) = 1 × 2 + 1, и значит, 3Ω 2(3) = 1 × 3 + 1 = 4, следовательно, a 2 = 3Ω 2(3) — 1 = 4 — 1 = 3. Теперь 3(3) = 1 × 3 и 4Ω 3(3) = 1 × 4 = 4, а a 3 = 4Ω 3(3) — 1 = 4 — 1 = 3. Так как следующее число 4(3) = 3, то здесь раздувание ничего не меняет: 5Ω 4(3) = 3, откуда a 4 = 3 — 1 = 2. 6Ω 5(2) равно 2, и значит, a 5 = 2 — 1 = 1, а 7Ω 6(1) = 1 и a 6 = 1 — 1 = 0. С этого места все члены последовательности Гудстейна равны нулю.

Если начать последовательность с числа a 1 = 4, то все происходит более энергично: действительно, 2(4) = 1 × 2², то есть 3Ω 2(4) = 1 × 3³ = 27, следовательно, a 2 = 3Ω 2(4) — 1 = 27 — 1 = 26. Далее, 3(26) = 2 × 3² + 2 × 3 + 2, а значит, 4Ω 3(26) = 2 × 4² + 2 × 4 + + 2 = 42, и, следовательно, a 3 = 4Ω 3(26) — 1 = 42 — 1 = 41. Следующие члены последовательности выглядят так: a 4 = 60, a 5 = 83, a 6 = 109, a 7 = 139. Очевидно, что члены последовательности растут. Действительно, придется долго ждать, прежде чем этот рост прекратится. После этого величина членов последовательности долгое время остается постоянной, а затем, по мере увеличения основания по сравнению с величиной членов последовательности, начнет постепенно уменьшаться. Лишь после члена последовательности с номером 3 × 2 402 653 211 (это число с более чем 121 миллионом разрядов) все следующие члены обращаются в ноль.

Если рассмотреть последовательность Гудстейна с начальным числом a 1 и если в этой последовательности после члена с номером n все остальные обращаются в ноль, (так что справедливо a n = 1 и a n + 1 = 0)то мы обозначим этот номер n выражением n = Θ ( a 1). При таких обозначениях имеем: Θ(1) = 1, Θ(2) = 3, Θ(3) = 5 и Θ(4) = 3 × 2 402 653 211.

Последовательность Гудстейна с головокружительной скоростью растет, например, при a 1 = 19. (Число 19 хорошо подходит для понимания сути процесса, так как следующие два члена последовательности можно записать в виде степенной башни.) Второй член последовательности вычисляется исходя из:

a 1 = 2 (19) = 2 22 + 2 + 1

и, таким образом,

3 Ω 2 (19) = 3 33 + 3 + 1, a 2 = 3 33 + 3

Это уже весьма большое число, а именно a 2 = 7 625 597 484 990. Третий член последовательности, a 3, вычисляют так:

4 Ω 3 (3 33 + 3) = 4 44 + 4, a 3 = 4 44 + 3.

Этот член последовательности является числом, которое начинается с 13… и имеет 155 разрядов. Четвертый член последовательности является результатом следующих вычислений:

5 Ω 4 (4 44 + 3) = 5 55 + 3, a 4 = 5 55 + 2.

Это число начинается с 18… и имеет 2185 разрядов. Пятый член последовательности получают так:

6 Ω 5 (5 55 + 2) = 6 66 + 2, a 5 = 6 66 + 1.

Это число начинается с 26… и имеет 36 306 разрядов. И наконец, следующие вычисления дают шестой член последовательности согласно уравнениям:

7 Ω 6 (6 66 + 1) = 7 77 + 1, a 6 = 7 77 .

Это число начинается с 38… и имеет 659 974 разряда. Последовательность Гудстейна, начинающаяся с a 1 = 19, приводит просто к немыслимо большим, неизмеримым числам.

Однако сам Гудстейн утверждает, что и эта последовательность рано или поздно закончится нулем. Это совершенно необъяснимо, но и сам Гудстейн не имеет ни малейшего представления о том, как долго придется ждать этих нулей. Он просто утверждает, что когда-нибудь это все же произойдет. Ясно одно — надо пройти гигантское число членов последовательности, число, превосходящее всякое воображение и всякие возможности его представления, чтобы когда-нибудь, при n = Θ(19), обнаружить, что a n + 1 = 0. Более того, Гудстейн утверждает, что созданная им последовательность чисел