Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Мы до сих пор точно не знаем, как римские мастера счета выполняли подобные вычисления. Ученые сходятся, однако, в том, что римляне применяли прием, известный уже египетским ученым. Мы покажем, как действовал этот прием, на примере умножения обоих чисел: LVII и LXXV. Для начала напишем эти числа рядом:

После этого под первым числом выписывают его половину, под половиной — ее половину, потом еще половину, и так до тех пор, пока не доходят до единицы, то есть до числа I. Если же делить пополам приходится нечетное число, то берут половину четного числа, на единицу меньшую делимого.

Подробно покажем этот процесс на примере LVII: сначала напишем это число более детально XXXXX V II, потом еще подробнее XXXX VVV II и, наконец, представим его в следующем виде: XXXX VV IIIIIII. Теперь мы легко можем разделить число пополам: XX V III. Собственно, делить надо было семь единиц, но мы разделили надвое лишь шесть единиц, а седьмую просто отбросили. Поэтому таблица будет выглядеть так:

Для того чтобы вычислить половину XXVIII, запишем это число как XX IIIIIIII. Деля надвое обе части, получаем X IIII. Теперь наша таблица приобретает следующий вид:

Поскольку XIIII можно представить в виде VV IIII, постольку половину этого числа можно записать в виде V II. Остальные половинки рассчитываются очень быстро. Вместо IIIIIII пополам делят на единицу меньшее четное число IIIIII, и получают III, а вместо III делят пополам на единицу меньшее четное число II. Теперь вся таблица выглядит так:

Теперь запишем под правым числом LXXV его удвоенное значение, затем удвоенное значение удвоенного значения и так далее. Итак, удвоим первое число LXXV. Получится следующая запись: LL XXXX VV, или C XXXX X, или, упрощая, CL. Удвоив CL, мы получим CC LL, или, упрощая запись, CCC. Теперь, после внесения данных первых двух удвоений в таблицу, она приобретает следующий вид:

Теперь для того, чтобы выполнить столько же удвоений, сколько было делений пополам, надо выполнить еще три удвоения: из CCC получается CCCCCC, что можно упрощенно записать так: DC. Из DC при удвоении получается DD CC, что можно упрощенно записать так: MCC, а из MCC при удвоении получается MMCCCC:

Теперь можно считать, что главная часть умножения выполнена. Осталось сделать два шага для получения окончательного результата. Согласно таинственным воззрениям древнеегипетских ученых, нечетные числа считались «добрыми», а четные — «злыми». Если в левом столбце обнаруживается четное, то есть «злое» число, то всю строчку вычеркивают, чтобы в левом столбце остались только «добрые» нечетные числа:

«Злыми» числами считаются XXVIII (то есть 28) и XIIII (то есть 14), а все остальные числа левого столбца нечетные, то есть «добрые». На последнем шаге складывают все оставшиеся незачеркнутыми числа правого столбца, то есть находящиеся в «добрых» строчках. После упорядочивания символов мы получаем следующий результат:

После первого упрощения получаем MMM DD CC L XX V, что при окончательном упрощении дает MMMMCCLXXV. Пользуясь современной десятичной системой, мы записываем это число как 4275, и это действительно произведение двух чисел 57 и 75.

Иногда люди думают, что математика отличается от прочих наук тем, что в ней все результаты можно вычислять с достоверной точностью. Однако это ни в коем случае не верно. Часто бывает достаточно знать приближенное значение результата для того, чтобы верно его оценить. Во всяком случае, достаточно сильно впечатляет, что приведенное в тексте простое рассуждение позволяет оценить порядок величины числа рисовых зерен на шахматной доске, не прибегая к утомительным многочасовым вычислениям и сложной компьютерной технике.

Тот, кто все же хочет знать точный результат, должен принять во внимание следующее соображение: каждый раз, когда мы заменяем число 1024 числом 1000 = 10³, то есть удобным для вычислений приближением, мы допускаем ошибку, составляющую 2,4 процента от точной величины. Эту ошибку в ущерб числу рисовых зерен мы совершаем на 11, 21, 31, 41, 51 и 61-м поле, то есть в шести пунктах шахматной доски. Таким образом, разница между грубо прикинутым количеством риса и точным числом рисовых зерен, которые надо высыпать на доску, составляет 6 × 2,4 = 14,4 %, то есть это величина относительной разницы между 16 квинтиллионами зерен и точным числом. 15 процентов от шестнадцати составляет 2,4, то есть 15 процентов от 16 квинтиллионов составляют 2,4 квинтиллиона, которые и надо прибавить к этому количеству, и в результате мы получим те же 18,4 квинтиллиона зерен.

Вооружившись высокопроизводительной вычислительной машиной, можно сложить 64 числа, каждое из которых получается в результате удвоения предыдущего числа, начиная с единицы. Результат в точности равен:

18 446 744 073 709 551 615,

то есть 18 квинтиллионам 446 квадриллионам 744 триллионам 73 миллиардам 709 миллионам 551 тысяче 615 рисовым зернам. Надо заметить, что существует более простой способ получения такого же точного результата: сумма всех предыдущих чисел равна удвоенному значению последнего числа минус единица. Вот, например, сумма зерен в первом ряду шахматной доски:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 2 × 128 — 1 = 256 — 1 = 255.

Это значит, что для того, чтобы получить сумму всех зерен на шахматной доске, надо возвести два в 64 степень, и из полученного результата

18 446 744 073 709 551 616

вычесть единицу.

Насколько легко люди поддаются заблуждениям, показывает следующий пример: допустим, что Земля — это идеальный шар, окружность которого по экватору равна в точности 40 тысячам километров. Допустим, что этот шар по экватору туго обтянут шнуром. После этого шнур немного ослабляют, увеличив его длину на 10 сантиметров. Насколько удалится шнур от поверхности Земли, если удлинение распределить равномерно по всей длине шнура? Сможем ли мы просунуть под шнур хотя бы песчинку, имеющую в диаметре одну сотую миллиметра? Поразительный ответ гласит, что мы сможем просунуть под шнур не только крошечную песчинку, но даже довольно толстый палец диаметром более 1 сантиметра, причем сразу в нескольких местах приподнятого над поверхностью Земли шнура.