Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Еще Галилей говорил: «Только тот может понять природу, кто понимает ее язык и символы, коими она говорит с нами. Этот язык — математика, а ее символы — математические фигуры».

Канту принадлежит следующее высказывание: «Я утверждаю, что о каждой отдельно взятой естественной науке можно сказать, что она наука лишь в той мере, в какой опирается на математику».

Приведя еще несколько цитат, подтверждающих значение математики [26], Гильберт закончил свое радиообращение следующими словами:

«Мы не должны доверять тем, кто сегодня с глубокомысленной философической миной, серьезным тоном пророчит гибель культуры и впадает в ересь вечного невежества. Для нас не существует никакого “ignorabimus”, и я твердо придерживаюсь того мнения, что его не существует и для естественных наук. Пусть нашим лозунгом будет не “ignorabimus”, а нечто совершенно иное:

Мы должны знать, и мы будем знать ».

Нам, современным людям, трудно в полной мере понять значение последних слов. О ком говорит Гильберт, намекая на пророков гибели культуры, впадающих в ересь «ignorabimus»?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам придется заглянуть в далекий 1872 г. и послушать речь выдающегося физиолога Генриха Дюбуа-Реймона, которой он поверг в удивление и ужас тогдашний научный мир. Дюбуа-Реймон был решительным поборником дарвинизма, он безоговорочно придерживался того мнения, что естественные науки — это «абсолютно культурный феномен», единственное достойное устремление человечества. В противоположность естественным наукам все остальные культурные ценности, как то: политика, искусство и религия, не имеют в конечном счете никакого значения. Но даже Дюбуа-Реймон, возвеличивший естественные науки и считавший их историю единственной подлинной историей человечества, на заседании Общества немецких естествоиспытателей и врачей в Лейпциге утверждал, что существуют «границы познания природы». Никогда, говорил Дюбуа-Реймон, человек не познает до конца, что такое материя и сила, никогда не удастся локализовать ощущение в бессознательных нервах, никогда не сможем мы обосновать происхождение мышления и языка и никогда не поймем, откуда берется свободная, направленная ко благу воля. «Ignoramus et ignorabimus, — объявил он с трибуны своим коллегам. — Не знаем и знать не будем».

На протяжении десятилетий после произнесения этой речи «ignorabimus» действовало на Давида Гильберта и многих других ученых как красная тряпка на быка. Уже в начале своего выступления по радио Гильберт отчетливо обозначил свое отношение к скептицизму Дюбуа-Реймона: тот, кто руководствуется математикой, клялся Гильберт, тот в конечном счете поборет всякое «ignorabimus». Со времен Галилея наука о природе продолжает свое победоносное шествие. До Исаака Ньютона люди верили, что звезды движутся по небу, гонимые взмахами ангельских крыльев, и это был чудесный поэтический образ. Математическая физика Ньютона не оставила от него камня на камне. Движения всех небесных тел, по Ньютону, подчиняются уравнениям. Если бы во всей Вселенной было только два небесных тела, решение этих уравнений привело бы к открытию законов, выведенных современником Галилея Иоганном Кеплером на основании астрономических наблюдений. Во Вселенной обретается бесчисленное множество небесных тел, и, даже применяя самые современные компьютеры, люди, естественно, не в состоянии выдать для них всех точные решения уравнений Ньютона. Но астрономы все равно убеждены, что именно математика, и ничто другое, лежит в основе всех явлений мироздания.

Пьер-Симон Лаплас перенес эти рассуждения на движение всех атомов во Вселенной. Согласно Лапласу, все в нашем мире — от взмаха крыльев насекомого и извержения Везувия до взрыва сверхновой звезды — определяется уравнениями. Не существует ничего, где в конечном счете математика не определяла бы правила игры. Даже после того, как теория относительности и квантовая теория внесли исправления в уравнения Ньютона, в принципе это высказывание осталось безусловно верным. В квантовой теории физическая система — будь то атом, молекула ДНК, кот в ящике, облако и все что угодно еще, описывается таинственной греческой буквой ψ, пси. Эта буква содержит всю информацию относительно системы. Пси не подчиняется ничему и никому, кроме математики, ибо повинуется только одному математическому уравнению, названному в честь Эрвина Шредингера [27].

Следовательно, математика действительно проникает во все на свете явления. И сама она, по твердому и непоколебимому убеждению математического гения Гильберта, противоречит утверждению Дюбуа-Реймона. Гильберт очень страстно сформулировал свое кредо: «В наших душах звучит вечный призыв: здесь есть проблема. Ищи ее решение! Ты найдешь его путем чистого размышления, ибо в математике не существует “ignoramus et ignorabimus” ».

Еще до 1900 г. Гильберт показал изумленному научному миру, как именно удается математике стать повелительницей реальности.

Книга по геометрии, которую Евклид написал в III в. до н. э., во времена Гильберта все еще оставалась учебником для высшей школы, и до конца XIX столетия все ученые были убеждены в том, что, говоря о «точках», «отрезках», «окружностях», «треугольниках» или «квадратах», они имеют в виду нечто раз и навсегда устоявшееся и установленное. Есть и инструмент, с помощью которого можно конструировать и строить эти предметы, а именно циркуль и линейка. Если в плоскости чертежа находятся две удаленные друг от друга точки, то надо приложить к ним линейку и провести прямую, которой будут принадлежать обе точки. Ясно также, как надо установить циркуль в одну из точек, раскрыть его так, чтобы его вторая ножка достигла второй точки, а затем провести окружность, центр которой расположен в первой точке, а сама окружность проходит через вторую точку.

Но как, имея данную окружность, построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого была бы равна площади этого круга? Это знаменитый вопрос о «квадратуре круга», который в наше время воспринимают как метафору.

Гильберт «разрешает» квадратуру круга, при этом рассматривая проблему с двух точек зрения, и прежде всего — с точки зрения вспомогательных средств, имеющихся в нашем распоряжении. Здесь Гильберт мог опереться на работу своего бывшего учителя, профессора Кенигсбергского университета, перебравшегося позднее, в 1893 г., в Мюнхен, Фердинанда фон Линдемана, который раз и навсегда доказал: никогда не удастся с помощью циркуля и линейки разрешить проблему квадратуры круга.

Тем не менее утверждение фон Линдемана, несмотря на негативное выражение, ни в коей мере не противоречит лозунгу Гильберта о том, что математика не приемлет «ignorabimus». Это утверждение сообщает нам некоторое знание, а именно знание о том, что невозможно ни в коем случае. Так же невозможно, как, допустим, назвать 5 четным числом.