Микаэль Лонэ - Большой роман о математике. История мира через призму математики

Эта удивительная математическая теория строится на анализе свойств некоторых числовых последовательностей. Выберите любое число, которое вам нравится, а затем составьте последовательность чисел, первый член которой будет равен 0, а каждый последующий будет равен квадрату предыдущего, к которому прибавляется выбранное число. Например, если вы выбираете число 2, то ваш числовой ряд будет начинаться следующим образом: 0, 2, 6, 38, 1446… Вы заметили, что 2 = 0 2+ 2, 6 = 2 2+ 2, 38 = 6 2+ 2, 1446 = 38 2+ 2 и так далее? Если вместо числа 2 выбрать –1, то вы получите следующую последовательность: 0, –1, 0, –1, 0… В таком ряду чередуются только числа 0 и –1, т. к. –1 = 0 2– 1 и 0 = (–1) 2– 1.

Эти два примера показывают, что в зависимости от того, какое число будет выбрано, полученный результат может принимать две совсем разные формы. Значения элементов последовательности могут стремиться к бесконечности, увеличиваясь все больше и больше, как в случае, если выбрать число 2. Также возможно, что последовательность будет ограниченной, то есть ее значения не отклоняются от определенных значений и остаются в ограниченном пространстве, как в случае с числом –1. Все числа, в том числе целые, дробные или даже мнимые, относятся к одной из этих двух категорий.

Эта классификация чисел может показаться довольно абстрактной, поэтому для наглядности лучше представить ее в геометрическом виде с использованием Декартовой системы координат. Поместим все действительные числа на горизонтальной оси, как мы делали ранее, [27]а мнимые числа – на вертикальной оси. Теперь закрасим точки, принадлежащие к двум категориям, разными цветами. Получится вот такая интересная фигура.

На этой схеме черным цветом выделены числа, на основании которых формируются ограниченные последовательности, а серым – числа, на основании которых образуются последовательности с бесконечным количеством элементов. Белый ореол за черной фигурой добавлен для того, чтобы было лучше видно мельчайшие детали даже невооруженным глазом.

Поскольку для каждой точки изображения необходимо было производить соответствующий расчет и анализ числового ряда, создание такой фигуры требовало проведения многочисленных вычислений. Именно поэтому ее удалось изобразить только в начале 1980-х гг., когда компьютеры достигли соответствующего технического уровня. Французский математик Бенуа Мандельброт был одним из первых, кто подробно изучил геометрические свойства этой фигуры, которую коллеги в конечном счете назвали в его честь.

Множество Мандельброта завораживает! Его контур представляет собой невероятное геометрическое кружево гармонии и точности. Если приблизить его границу, то можно разглядеть все больше и больше бесконечно малых и невероятно точных деталей. В самом деле, практически невозможно охватить на одной картинке все разнообразие элементов множества Мандельброта в деталях. Увеличенные участки отдельных элементов этой фигуры изображены на рисунке ниже.

Но еще более любопытной эту фигуру делает то, что она удивительно проста в определении. Если бы для описания ее построения требовалось составить многочисленные сложные уравнения, в которых присутствовали бы запутанные расчеты или необычные конструкции, то можно было бы сказать: «Конечно, эта фигура красивая, но она построена совершенно искусственным образом и потому малоинтересна». Но нет, данная фигура есть не что иное, как геометрическое представление элементарных свойств числовых последовательностей, которые определены несколькими словами. Из одного простого правила рождается такое геометрическое чудо.

Открытие такого рода неизбежно порождает дебаты о природе математики: является ли она человеческим изобретением или существует сама по себе? Математики открывают или создают? На первый взгляд, кажется, что множество Мандельброта можно назвать открытием. Эта фигура принимает такую необыкновенную форму не потому, что Мандельброт решил построить ее таким образом. Французский математик не стремился изобрести такую фигуру. Она появилась не по его воле. Графическое выражение исходной формулы не могло выглядеть иначе.

Тем не менее кажется весьма странным рассматривать возможность существования объекта, который не только является чисто абстрактным, но даже интерес к которому не относится к предмету теории математики. Абстрактные числа, треугольники и уравнения могут иметь прикладное значение для познания реального мира. Абстракция вплоть до этого момента всегда имела хотя бы отдаленное отражение в материальной Вселенной. Множество Мандельброта, кажется, не имеет ничего общего с реальным миром. Никакие физические явления, как известно, не принимают форму, каким-либо образом напоминающую его. Так в чем же смысл его изучения? Можно ли поставить его открытие в один ряд с открытием новой планеты в астрономии или новых видов животных в биологии? Или же это объект, который может изучаться только сам по себе? Другими словами, равна ли математика по своей значимости другим наукам?

Многие математики, без сомнения, ответят на этот вопрос «да». Тем не менее эта дисциплина занимает обособленное место в системе человеческого познания.

Одна из причин ее уникальности заключается в неоднозначной связи между математикой и красотой ее объектов.

Это правда, что практически во всех науках можно обнаружить нечто очень красивое. Например, в астрономии это небесные тела. Мы восхищаемся формой галактик, сверкающими хвостами комет или переливающимся светом туманностей. Вселенная в самом деле прекрасна. Это так. Но надо заметить, что, если бы она не была таковой, это не много бы поменяло. У астрономов нет выбора. Звезды – такие, какие они есть, и их необходимо было бы изучать, даже если бы они были совершенно непривлекательны. Кроме того, определения красоты и ее противоположности очень субъективны, но речь сейчас не об этом.

Математики, наоборот, в этом плане более свободны. Как мы уже видели, существует бесконечное количество способов определения алгебраических структур, и в каждом из них – бесконечное количество способов определения последовательностей, свойства которых могут быть изучены. Большинство из этих рядов чисел не будут выглядеть так же красиво, как выбранный Мандельбротом. В математике гораздо больше свободы выбора предмета исследования. Среди бесконечного количества теорий, которые могут быть изучены, часто для анализа выбирают только наиболее привлекательные.