РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Так как 1 + R то же, что и HPR, большинство ошибочно полагает, что функция роста [3] Многие ошибочно используют среднее арифметическое HPR в уравнении HPR ^ N. Как здесь показано, это не даст истинное TWR после N игр. Вы должны использовать геометрическое, а не арифметическое среднее HPR ^ N. Это даст истинное TWR. Если стандартное отклонение HPR равно 0, тогда арифметическое среднее HPR и геометрическое среднее HPR эквивалентны, и не имеет значения, какое из них вы используете. TWR равна:

(1.18) TWR = HPR ^N

Эта функция верна только тогда, когда прибыль (то есть HPR) постоянна, чего в торговле не бывает. Реальная функция роста в торговле (или любой другой среде, где HPR не явля­ется постоянной) — это произведение всех HPR. Допустим, мы торгуем кофе, наше оптимальное f составляет 1 контракт на каждую 21 000 долларов на балансе счета и прошло 2 сделки, одна из которых принесла убыток 210 долларов, а другая выигрыш 210 долларов. В этом примере HPR равны 0,99 и 1,01 соответственно. Таким образом, TWR равно:

TWR = 1,01 * 0,99 = 0,9999

Дополнительную информацию можно получить, используя оценочное среднее геометрическое (EGM):

или

Теперь возведем уравнение (1.16а) или (1.166) в степень N, чтобы рассчитать TWR Оно будет близко к «мультипликативной» функции роста, действительному TWR

или

где N = количество периодов;

АНPR = среднее арифметическое HPR;

SD = стандартное отклонение значений HPR;

V = дисперсия значений HPR.

Оба уравнения (1.19) эквивалентны.

Полученная информация говорит, что найден компромисс между увели­чением средней арифметической торговли (HPR) и дисперсией HPR, и ста­новится ясна причина, по которой система (1,9:1 ; 70%) работает лучше, чем система (28:1; 10%)!

Нашей целью является максимизация коэффициента этой функции, т.е. мак­симизация следующей величины:

Показатель оценочного TWR, т.е. N, сам о себе позаботится. Увеличение N не яв­ляется проблемой, так как мы можем расширить количество рынков или торго­вать в более краткосрочных типах систем.

Расчет дисперсии и стандартного отклонения (V и SD соответственно) может оказаться трудным для большинства людей, не знакомых со статистикой. Вместо этих величин многие используют среднее абсолютное отклонение, которое мы на­зовем М. Чтобы найти М, надо просто взять среднее абсолютное значение разно­сти самой величины и ее среднего значения.

При колоколообразном распределении (как почти всегда бывает с распределени­ем прибылей и убытков торговой системы) среднее абсолютное отклонение при­мерно равно 0,8 стандартного отклонения (в нормальном распределении оно со­ставляет 0,7979). Поэтому мы можем сказать:

и

Обозначим среднее арифметическое HPR переменной А, а среднее геометричес­кое HPR переменной G. Используя уравнение (1.166), мы можем выразить оце­ночное среднее геометрическое следующим образом:

Из этого уравнения получим:

Теперь вместо дисперсии подставим стандартное отклонение [как в (1.16а)]:

Из этого уравнения мы можем выделить каждую переменную, а также выде­лить ноль, чтобы получить фундаментальные соотношения между средним арифметическим, средним геометрическим и разбросом, выраженным здесь как SD ^2:

В этих уравнениях значение SD^2 можно записать как V или как (1,25 * М) ^2. Это подводит нас к той точке, когда мы можем описать существующие взаимо­связи. Отметьте, что последнее из уравнений — это теорема Пифагора: сумма квад­ратов катетов равна квадрату гипотенузы! Но здесь гипотенуза это А, а мы хотим максимизировать одну из ее сторон, G. При увеличении G любое повышение D («катет» дисперсии, равный SD или V^(1/2), или 1,25 * М) приведет к увеличению А. Когда D равно нулю, тогда А равно G, этим самым соответствуя ложно толкуе­мой функции роста TWR = (1 + R)^ N. Действительно, когда D равно нулю, тогда А равно G в соответствии с уравнением (1.26).

Мы можем сказать, что повышение А^ 2 оказывает на G то же воздей­ствие, что и аналогичное понижение величины (1,25 * М) ^ 2.

Чтобы понять это, рассмотрим изменение А от 1,1 до 1,2:

Когда A=l,l,ToSD=0,l. Когда А = 1,2, то, чтобы получить эквивалентное G, SD должно быть равно 0,4899, согласно уравнению (1.27). Так как М = = 0,8 * SD,ToM=0,3919. Если мы возведем в квадрат значения А и SD и рассчитаем раз­ность, то получим 0,23 в соответствии с уравнением (1.29). Рассмотрим следующую таблицу:

Отметьте, что в предыдущем примере, где мы начали с меньших значений разбро­са (SD или М), требовалось их большее повышение, чтобы достичь того же G. Таким образом, можно утверждать, что чем сильнее вы уменьшаете дисперсию, тем легче дается больший выигрыш. Это экспоненциальная функция, причем в пределе, при ну­левой дисперсии, G равно А. Трейдер, который торгует на фиксированной долевой ос­нове, должен максимизировать G, но не обязательно А. При максимизации G надо понимать, что стандартное отклонение SD затрагивает G в той же степени, что и А в соответствии с теоремой Пифагора! Таким образом, когда трейдер уменьшает стан­дартное отклонение (SD) своих сделок, это эквивалентно повышению арифметичес­кого среднего HPR (т.е. А), и наоборот!