А. Степанов - Число и культура

– 1 = ( – 1)! / ( – 1 – n )! ( – 1)!.

Под знаком факториала стоят отрицательные величины, и набор школьных знаний не всем позволяет ими оперировать. Для математиков, однако, затруднений тут нет. Стандартное представление факториалов через Г- функцию и последующее раскрытие неопределенности с помощью вычетов быстро приводит к искомому результату: дробь правой части принимает значение минус единица при всех нечетных n , т.е. уравнение превращается в тождество. Четные n проверяемому условию не удовлетворяют. Поэтому решение М = – 1 и было отнесено только к нечетным n.

Вообще говоря, не очень хорошо, что при проверке последнего общего решения нам пришлось выйти за рамки школьной математики ( Г- функция, раскрытие неопределенностей, вычеты), ведь установка на поиск коллективного по природе рационального бессознательного предполагала опору как раз на общераспространенные знания. Но в конечном счете это не так и страшно, поскольку в процессе собственно культурологического анализа решение М = – 1 использовалось главным образом как спутник ситуации n = 3, М = 4 , и для того, чтобы справиться с ней, хватает и обыкновенного квадратного уравнения (см. раздел 1.4.1), с которым умеют или в детстве умели оперировать практически все. Привлечение высшей математики потребовалось лишь для проверки корня М = – 1 в качестве общего (для всех нечетных n), в конкретных же культурных операциях к формальной общности обычно не стремятся, вполне удовлетворяясь тем, что удается подыскать значение, подходящее к конкретному рассматриваемому случаю. Следовательно, на деле элементарной математики оказывается вполне достаточно.

На протяжении всей первой главы использовалась одна важная предпосылка, которая упоминалась лишь мимоходом. В приложении нас менее жестко связывает требование не тормозить и не усложнять изложение, поэтому теперь уместно сказать и о ней.

Каким образом подсчитывалось количество отношений, или связей, в системе? Элемент а1 связан с элементом а2 , и без специальных оговорок предполагалось, что это то же самое отношение, что и связь элемента а2 с элементом а1. В случае бинарных отношений пара (а1 , а2 ), таким образом, считалась тождественной паре (а2 , а1 ). В курсах комбинаторики в таких случаях говорят о независимости групп элементов от порядка их размещения, т.к. во внимание принимается только списочный состав элементов. Во многих ситуациях такое предположение вполне оправданно. Так, при рассмотрении модели трехмерного физического пространства на роль элементов могут быть назначены координатные оси x, y, z , а отношениями становятся координатные плоскости (см. раздел 1.3). Каждая координатная плоскость описывается совокупностью пары осей, при этом плоскость ( x , y ) – та же самая плоскость, что ( y, x ); плоскость ( x , z ) совпадает с ( z , x ), а плоскость ( y , z ) – с плоскостью ( z , y ). Порядок размещения тут роли не играет.

Аналогично, при исследовании совокупности трех хронологических областей – прошлого, настоящего, будущего – привлекалось представление о бинарном отношении предшествования: прошлое раньше настоящего, настоящее раньше будущего и прошлое раньше будущего. Если вместо отношения "раньше" мы возьмем противоположное ему "позже", мы не получим дополнительной информации: например, из того, что прошлое раньше настоящего, вытекает, что настоящее позже прошлого. Отношения "раньше" и "позже" абсолютно симметричны.

На первый взгляд покажется неожиданным, что гипотеза сходной симметричности имплицитно заложена и в представлении о системе лиц местоимений. Конституирующей для нее, как мы помним (см. раздел 1.3), служила ситуация диалога. Если, скажем, первое лицо, Я, фиксирует непосредственно говорящего, то Ты – ведущий адресат сообщения, или реплики. Отношение Я к Ты – отношение говорящего к слушающему, активного к пассивному, тогда как деятельность Ты здесь сводится к восприятию и пониманию. Поостережемся полагать как в предыдущем примере, что из одного сразу же следует другое. Пара (Я, Ты), повторим, – суть говорение, пара (Ты, Я) – слушание, т.е. принципиально разные типы активности, следовательно, разные отношения. Из факта, что Я высказывается, отнюдь не само собой разумеется, что Ты его действительно слушает. В языке, однако, оказался зафиксированным не гипотетически допустимый ущербный и "больной" диалог, когда адресат сообщения имеет возможность пропускать мимо ушей ему сказанное, а диалог настоящий, "здоровый", при котором из того, что Я говорит, твердо вытекает, что Ты слушает. Такая негласная предпосылка, по всей видимости, заложена и в теоретическую модель грамматиков, заведомо отказавшихся рассматривать диалог слепого с глухонемым или его аналог из сумасшедшего дома или парламента. После сделанной оговорки мы уже вправе констатировать наличие логической симметрии: подобно тому, как утверждение "настоящее раньше будущего" эквивалентно истине "будущее позже настоящего", пропозиция "Я говорит" с несомненностью означает "Ты слушает". Подобному представлению, вероятно, также способствует и то, что Я и Ты в перемежающихся репликах диалога постоянно меняются местами (говорящий превращается в слушающего и наоборот). Ученые грамматики создавали по возможности универсальную модель, и свойство инверсивности взяло на себя функцию симметричности.

На протяжении всей первой главы мы и ограничивались подобными случаями, не без оснований полагая, что они являются самыми распространенными, особенно в современной культуре. Однако было бы опрометчивым утверждать, что упомянутое условие справедливо всегда и альтернатива ему в культуре начисто игнорируется. Какие изменения необходимо внести в нашу модель, если возникнет необходимость учесть порядок размещения элементов: если, скажем, отношение первого элемента ко второму не равносильно отношению второго к первому и т.д.? – Учебники комбинаторики рекомендуют вместо количества сочетаний воспользоваться количеством размещений.

Нет нужды заново выводить дескриптивное уравнение, ведь требуется всего одно изменение, которое мы уже обсудили. Новое уравнение примет следующий вид:

М = А м n ,

( П.4 )

где А Mn – число размещений из М элементов по n, а остальные обозначения прежние.

Выпишем формулу для числа размещений (см., например, [235, c. 525]) и подставим ее в правую часть:

М = М! / ( М – n)!

( П.5 )

При n = 2 (в системе заданы бинарные отношения) уравнение (П.5) превращается в

М = М (М – 1).

Помимо уже привычных решений М = 0 и М = ∞, существует еще одно, так сказать, позитивное и содержательное: М = 2. Два первых полностью совпадают с таковыми из прежней модели и ничего нового об их интерпретации у нас нет сообщить, последнее же существенно отличается. Если в простой целостной системе со значимым порядком размещения элементов заданы бинарные отношения, то в этой системе должно присутствовать всего два элемента.