Вернер Гильде - Зеркальный мир

ЛАЙНЛАНДИЯ И ФЛАТЛАНДИЯ

Люди, наделенные воображением, уже давно обратили внимание на то, что законы конгруэнтности, столь строгие для двумерного пространства, при применении на практике нередко требуют использования третьего измерения.

Когда сервируют стол к парадному приему гостей, салфетки обычно складывают треугольником. Но стоит собрать эти треугольники в стопку, один на другой, как обнаруживается, что треугольников этих два вида: одни сразу же «подходят» друг к другу, а другие приходится перевернуть «на правильную сторону». Аналогичная проблема возникает и при штамповке мелких деталей, когда кто-нибудь пытается сложить готовую продукцию в штабеля.

Поэтам и писателям свойственно фантазировать вокруг более или менее вероятных ситуаций. Так, существуют произведения, в которых рисуется жизнь в двумерном пространстве (где «салфетку» никак не перевернешь).

Некоторые авторы идут еще дальше и пробуют представить себе жизнь в одномерном пространстве, в Стране Прямой - Лайнландии. Лайнландия населена лишь тоненькими деревянными палочками, которые в простейшем случае ничем друг от друга не отличаются. Однако стоит придать им головки (сразу вспоминаются спички!), и у них тут же появляются две возможности.

Если флатландцам захочется взглянуть друг на друга, одному из них придется встать на голову. Дома во Флатландии требуют особой конструкции дверей

Либо все спички обращены головками в одну сторону - тогда их совмещение не вызывает сложностей. Либо часть спичек лежит головками налево, а часть - головками направо. Математик из Лайнландии не имеет практической возможности перевести «левые» спички в «правые». Но математик из Страны Плоскости - Флатландии, который располагает еще одним измерением, сразу найдет простое решение: повернет спичку в плоскости.

Однако, по мнению некоторых писателей, жизнь и во Флатландии не так-то проста. Представим себе, что жители этой страны маленькие прямоугольники с глазом (а глаз у них только один) в одном из углов. Видеть такой прямоугольник может, конечно, только в плоскости, и ему никогда не удается взглянуть на эту плоскость сверху. Так что ни один флатландец никогда не сможет представить себе, как на самом деле он выглядит: для этого уже необходим взгляд из трехмерного пространства. Домики у флатландцев были бы примерно такими, как на детских рисунках. С той разницей, что двери находились бы сбоку и открывались бы только в этой же плоскости. Но вот дверные петли пришлось бы делать вне плоскости, выше или ниже ее. Кроме того, понадобилась бы сложная система подпорок, чтобы стена домика не рухнула, когда его обитатели захотели бы открыть дверь. А двое флатландцев смогли бы взглянуть друг на друга лишь в том случае, если бы одному из них удалось встать на голову.

Грузы во Флатландии перевозятся на кругах. Постройка платформы или тележки там невозможна: ведь для устройства оси и ее крепления необходимо третье измерение

Положение усложнилось бы еще больше, если бы Флатландию населяли два народца. Скажем, лево- и правосторонние флатландцы. Требуется большое воображение, чтобы живописать все возможные последствия такой ситуации, особенно если учесть, что мы-то привыкли мыслить в трех измерениях!

Поскольку и Лайнландия, и Флатландия представлялись писателям в юмористическом свете, не приходится удивляться, что литература на эту тему возникла в Англии.

В 1880г. английский педагог Эдвин Эбони Эбботт написал книгу о Флатландии и ее жителях ( Эбботт Э. Э. Флатландия. В кн.: Эбботт Э. Э. Флатландия. Бюргер Д. Сферландия. -М.: Мир, 1976 ). Флатландец Эбботта, попав во сне в Лайнландию, тщетно пытается убедить тамошних обитателей в существовании плоскости.

По ходу действия одному из флатландцев удается познать трехмерное пространство, за что его признают «безумнейшим из безумных».

Через двадцать с лишним лет, в 1907 г., Ч. Г. Хинтон опубликовал роман «Случай во Флатландии». В нем два флатландских народца ведут войну. Поскольку все флатландцы обращены лицом в одну сторону, один из народцев всегда в безнадежном проигрыше: он не может повернуться и нанести ответный удар в нужном направлении - ненавистный враг постоянно сидит у него на шее. Но в конце концов добро побеждает. Какая-то умная голова замечает, что Флатландия расположена на шарике и, значит, можно, обежав вокруг него, зайти врагу в тыл.

Автор романа строит свой рассказ в молчаливом предположении, что флатландцы могут двигаться только по определенным генеральным направлениям, исключающим обход сбоку, а опрокинуть врага через голову для них невозможно.

Как видно, по поводу жизни в двумерном пространстве выдвигались самые изощренные теории, однако они никогда не находили приложения. Надо думать, и эти книги, и их авторы были бы давно позабыты, если бы Лайнландия и Флатландия не были так нужны для пояснения теории зеркального отражения и если бы составителям задач на сообразительность не приходилось все снова и снова обращаться к Флатландии, чтобы извлекать идеи из ее двумерия (кстати, не так давно в Венгрии был создан мультфильм о путешествии школьника Адоляра во Флатландию).

В числе прочего флатландцы перевозят грузы, накатывая платформы на круги. Всякий раз, когда груз минует круг, тамошний транспортный служащий перекатывает этот круг вперед и ставит перед платформой.

Здесь возникает множество любопытных задач. Но нас интересует только одна: если ось колеса движется со скоростью 10 м в минуту, с какой скоростью движется груз?

О нашем земном автомобиле мы знаем, что ни одно колесо (точнее, ни одна колесная ось) не может двигаться скорее, чем весь автомобиль. Но у флатландского автомобился колесо не связано жестко с грузом. Подумав, нетрудно сообразить, что груз здесь участвует в двух движениях.

Сумма углов треугольника, расположенного на шаровой поверхности, может превышать 180°

Во-первых, он движется вместе с осью вращения колеса (это так же, как и у автомобиля). А кроме того, груз еще катится по окружности колеса, и при этом со скоростью, тоже равной скорости вращения оси. Следовательно, в целом груз катится с двойной скоростью по отношению к скорости колеса. Разумеется, груз должен двигаться скорее уже потому, что колеса все время остаются позади и их приходится постоянно переставлять вперед.