Вернер Гильде - Зеркальный мир

Некоторые читатели подумают: «Задачка действительно занятная, ну и что из того?»

Однако принцип действия флатландского транспорта находит себе место и в нашей технике. Так, конструктор, проектируя дверь в небольшом помещении (например, у маленького лифта), вынужден отказаться от шарниров. Он делит дверь на две половинки (если, конечно, додумается до такой уловки!), которые ходят параллельно друг перед другом. Одна половинка двери неподвижно скреплена с осью ролика, а вторая двигается по окружности этого ролика. Пока одна половинка сдвигается на половинку ширины двери, другая успевает перебежать всю ширину дверного проема (с удвоенной скоростью).

Не станем смотреть на Флатландию и на писательские фантазии свысока. Предположим, что флатландцы действительно проживают на поверхности шара. Поверхность эта столь велика, что жители могут не заметить ее кривизны. Естественно, они думают, что живут на плоскости, так как шара представить себе не могут: ведь третье измерение им в принципе незнакомо. Поэтому профессора-флатландцы развивают флатландскую математику, которая изучается в школах. Дети там зазубривают, например, такое определение: две параллельные прямые пересекаются на конечном расстоянии. Или: сумма углов треугольника превышает 180°. Мы же, люди трехмерного пространства, знаем, что шаровая поверхность представляет собой двумерное неевклидово пространство, которое не укладывается в привычную евклидову геометрию.

Посмотрев на глобус, мы видим, что два меридиана, параллельные у экватора, на полюсе пересекаются. Глядя на глобус, можно убедиться и в том, что два меридиана образуют с экватором угол 90°. У точки пересечения на полюсе возникает еще один угол. И сумма всех трех углов в любом случае больше 180°. Но бедные флатландцы, конечно, не могут и предположить всего этого. Они-то уверены, что живут на плоскости.

Один скептически настроенный математик, Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), всерьез задумался над тем, не в положении ли флатландцев находимся и мы, люди. Возможно, думал Гаусс, мы тоже живем в неевклидовом мире, но только не замечаем этого. Если бы это было так, пространство было бы искривлено (чего бы мы, конечно, не могли себе представить), и у достаточно большого треугольника сумма углов отличалась бы от 180°. Гаусс измерил треугольник между Брокеном, Инзельбергом и Высоким Хагеном, но не нашел существенного отклонения от 180°. Это, конечно, не могло служить бесспорным доказательством, так как треугольник все равно мог оказаться слишком мал.

Впрочем, нельзя просто так сравнивать неевклидово пространство, о котором шла речь, с пространством в теории относительности. Мы с вами, флатландцы и Гаусс ведем речь о чисто геометрической, пространственной проблеме и о том, справедливы ли определенные аксиомы (к примеру, о пересечении двух параллельных прямых в бесконечности). Приверженцы теории относительности в качестве четвертой пространственной координаты вводят время.

О КОНГРУЭНТНОСТИ

Две плоские фигуры конгуэнтны, если у них все углы и отрезки прямых между соответствующими точками равны.

В школе мы изучаем теоремы о конгуэнтно-сти треугольников. Установлено, например, что площади треугольников равны, если у них одна сторона и прилежащие к ней два угла совпадают. Это означает, что, хотя для построения треугольников можно использовать сторону и два прилежащих к ней угла, совпадать треугольники должны всеми своими частями.

В разговорной речи (которой мы и пользуемся в этой книге) можно сказать, что конгруэнтные плоскости точно накладываются друг на друга или, наоборот, если одна плоская фигура точно наложима на другую, то они конгруэнтны. То же самое справедливо и для трехмерных тел: если их можно совместить, то они конгруэнтны.

Три изображенных здесь черных треугольника конгруэнтны. Оба левых треугольника можно совместить непосредственно. Правый же треугольник нельзя совместить с левым ни путем простого смещения, ни путем поворота в плоскости листа. Его надо для этого повернуть в пространстве

Посмотрите на треугольники, изображенные на рисунке. Все они конгруэнтны. Очевидно, что оба треугольника, помещенные слева, совместятся, если их попросту передвинуть. А вот треугольник, помещенный справа, хотя и конгруэнтен с двумя левыми, но совместить его с ними только передвижением в плоскости мы не сможем. Как бы мы ни вертели его в плоскости, он никогда не совместится ни с одним из левых треугольников. Чтобы достичь этого, нужно приподнять треугольник над плоскостью, повернуть его в пространстве и снова положить на плоскость. Но если мы сравним взаимное расположение треугольников, совмещенных путем сдвига и перевертывания, то увидим, что в обоих случаях совпадают их разные стороны. При сдвиге нижняя поверхность одного бумажного треугольника накладывается на верхнюю поверхность второго треугольника. Пространственная ориентировка поверхности бумажного листа не изменилась. В этом случае говорят о тождественной конгруэнтности. Если при повороте в пространстве совмещаются обе верхние поверхности бумаги, плоские фигуры называются зеркально-конгруэнтными.

Конгруэнтными называются плоские фигуры, которые мы воспринимаем как равные и которые можно совместить друг с другом путем сдвига в плоскости или поворота в пространстве.

КОНГРУЭНТНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Конгруэнтность - свойство геометрических плоских фигур совпадать между собой по величине и по форме.

Тождественно-конгруэнтными являются фигуры, которые можно совместить друг с другом путем поворота и(или) сдвига.

Зеркально-конгруэнтными являются фигуры, для совмещения которых необходима дополнительно операция зеркального отражения.

Существует четыре признака конгруэнтности треугольников. Треугольники конгруэнтны, если:

1) три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого (S, S, S);

2) две стороны и заключенный между ними внутренний угол одного треугольника равны двум сторонам и заключенному между ними внутреннему углу другого треугольника (S, W, S);

3) две стороны и противолежащий большей из них внутренний угол одного треугольника равны двум сторонам и противолежащему большей из них углу другого треугольника (S, S, W);

4) сторона и оба прилежащих к ней внутренних угла одного треугольника равны стороне и обоим прилежащим к ней внутренним углам другого треугольниками (W, S, W).

ПОДОБИЕ

Совпадение плоских фигур по форме, но не по величине называется подобием.