Норберт Винер - Кибернетика или управление и связь в животном и машине

что дает

(4.30)

или

(4.31)

Тогда

(4.32)

В полярных координатах при u = ρ соs φ , v = ρ sin φ получим

(4.33)

или

(4.34)

Иными словами, [c.172]

(4.35)

Можно показать, что оба эти уравнения изображают одну кривую — кардиоиду с вершиной в начале координат и острием, направленным вправо. Внутренняя область этой кривой не содержит точек отрицательной действительной оси; как и в предыдущем случае, допустимое усиление неограниченно. Оператор а ( t ) для этого случая имеет следующий вид:

(4.36)

Положим еще

(4.37)

Определим ρ и φ , как в предыдущем случае. Тогда

(4.38)

Как в первом случае, отсюда получим

(4.39)

т. е.

(4.40)

Эта кривая имеет форму, показанную на рис. 3 [150]. Заштрихованная область изображает внутренние точки. Коэффициент обратной связи не может быть больше 1/8. Соответствующий оператор a ( t ) равен

(4.41)

Рис. 3

Наконец, пусть наш оператор, соответствующий A , представляет собой простую задержку на Т единиц [c.173]времени. Тогда

(4.42)

и

(4.43)

Кривая (4.17) в этом случае представляет собой единичную окружность с центром в начале координат, проходимую в направлении часовой стрелки со скоростью, равной единице. Внутренней областью кривой будет внутренняя область в обычном смысле, и предельная обратная связь равна 1.

Отсюда можно вывести одно весьма интересное заключение. Оператор 1/(1+ kz ) можно компенсировать произвольно сильной обратной связью, что заставляет A /(1+λ A ) приближаться сколь угодно близко к единице в сколь угодно широком диапазоне частот. Таким образом, три последовательных оператора этого типа можно компенсировать тремя — или даже двумя — обратными связями. Но оператор 1/(1+ kz ) 3, получаемый при последовательном соединении трех операторов 1/(1+ kz ), нельзя сколь угодно точно компенсировать одной обратной связью. Оператор 1/(1+ kz ) 3можно также записать в виде

(4.44)

и рассматривать как предел аддитивного соединения трех операторов со знаменателями первой степени. Итак, оказывается, что сумму различных операторов, каждый из которых допускает сколь угодно точную компенсацию одной обратной связью, нельзя компенсировать таким же образом.

В ценной книге Макколла приведен пример сложной системы, которая может быть стабилизирована двумя обратными связями, но не одной. Речь идет о системе управления кораблем при помощи гирокомпаса. Наличие угла между курсом, который задал рулевой, и тем, который показывает компас, приводит к перекладке руля, создающей вследствие поступательного движения корабля вращающий момент, который изменяет курс корабля таким образом, чтобы уменьшить расхождение между заданным и действительным курсом. Если это [c.174]осуществляется путем непосредственного открывания клапанов одной рулевой машины и закрывания клапанов другой с таким расчетом, что скорость перекладывания руля пропорциональна отклонению корабля от курса, то угловое положение руля будет примерно пропорционально моменту вращения корабля и, следовательно, его угловому ускорению. Поэтому поворот корабля пропорционален с отрицательным коэффициентом третьей производной отклонения от курса, а операция, которую нужно стабилизировать обратной связью от гирокомпаса, имеет вид kz 3, где k положительно. Таким образом, мы получаем для кривой (4.17) уравнение

(4.45)

и поскольку внутренней областью служит левая полуплоскость, никакой следящий механизм не сможет стабилизировать эту систему.

В этом описании мы несколько упростили задачу управления. В действительности здесь присутствует какое-то трение, и сила, поворачивающая корабль, не определяет ускорения. Если θ — угловое положение корабля, а φ — угловое положение руля по отношению к кораблю, то

(4.46)

и

(4.47)

Эту кривую можно записать как

(4.48)

и систему по-прежнему нельзя стабилизировать никакой обратной связью. Когда y изменяется от —∞ до ∞, v изменяется от ∞ до —∞, так что внутренняя область кривой расположена слева.

Если, с другой стороны, положение руля пропорционально отклонению от курса, то оператор, который мы хотим стабилизировать обратной связью, имеет вид k 1 z 2+ k 2 z , и кривая (4.17) будет задаваться уравнением

(4.49)

Эту кривую можно записать как