Адольф Френкель - Жизнь Георга Кантора

Из написанных им в 80-ые годы работ [3] (часть 5) и “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede”, “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” видно поразительное знакомство Кантора с философской литературой, и притом не только с обширными частями современных и несколько более старых сочинений, но и с классиками философии предыдущих столетий, и в особенности с важнейшими философско-тео-логическими авторами схоластики и с Аристотелем. Мы находим у него глубокое изучение философии, почти всегда восходящее к источникам, но привлекающее также обширную историко-философскую литературу; круг его интересов распространяется на представителей древнегреческой атомистики и их противников, Платона и Аристотеля, Августина и других отцов церкви, Боэция, Фому Аквинского и многих других схоластов, Николая Кузанского и Джордано Бруно, Декарта, Спинозу, Локка, Лейбница, Канта и Фриса; даже за полстолетия до нас это было редким исключением для исследователя, специальностью которого не является философия. Сверх того, Кантор находился в тесных научных, а также в личных дружеских отношениях с его младшими коллегами Эдмундом Гуссерлем и Германом Шварцем, защищавших в Галле диссертации по философий. Напротив, к устремлениям «математической логики» (Шредер, Фреге и т.д.) он относился отрицательно. По проницательному замечанию Феликса Клейна [37] «Лекции о развитии математики в XIX веке», ч. 1, Берлин, 1926. Приведем оттуда следующее место: «Если освободить схоластические рассуждения от этой мистико-метафизически окрашенной оболочки, в которой они представляются поверхностному взгляду чисто теологическими тонкостями, то они часто оказываются вполне правильными подходами к тому, что мы теперь называем теорией множеств». Что касается Больцано, то схоластика очевидным образом была отправным пунктом его исследований о бесконечности , нельзя считать случайностью, что Кантор прошел также схоластическую школу; более, чем в других математических дисциплинах, где на передний план выступают систематически-конструктивное, а часто специфически-вычислительное, способы рассуждений в теории множеств (по крайней мере, в абстрактной) своей общностью, но в то же время своей тонкостью и аналитической расчлененностью напоминают рассуждения схоластической логики и теологии; математическое учение об актуальной бесконечности во многом родственно им также своей смелостью, с другой же стороны, схоластика, подобно математике, ставит перед собой идеал строгости умозаключений. Вообще же для Кантора философия была отнюдь не посторонней областью, в которую приходилось входить ради математических целей; для него обе области были глубоко связаны. У своих читателей он предполагал не только математические, но и философские познания; насколько он считал это существенным, видно из предисловия к отдельному изданию части 5 работы [13], где он объясняет, что писал одновременно для двух кругов читателей: и «для философов, проследивших развитие математики до новейшего времени, и для математиков, знакомых с важнейшими явлениями старой и новой философии».

Из отдельных мест, имеющих философское значение, упомянем замечание в работе [13], ч. 5, о формировании понятий ; в противоположность «субстанциальному» пониманию Аристотеля, здесь изображается функциональный процесс в том смысле, как он утвердился в современном учении о формировании понятий у Риккерта, Кассирера и др. Далее, следует отметить, что Кантор упорно и неоднократно боролся (против Гамильтона, Когена и др.) с еще и ныне высказываемой точкой зрения, согласно которой число или понятие величины основывается на понятии времени; в работе [13], ч. 5, он в особенности возражает против учения о времени Канта.

Для общего понимания математики Кантором существенно представление о реальности научных идей (например, целых − конечных и бесконечных − чисел); эта реальность имеет для него двоякий смысл: с одной стороны, как интрасубъективная или имманентная реальность, закрепленная определениями, отводящими соответствующему понятию определенное, отдельное от других понятий место в человеческом мышлении, благодаря чему это понятие «некоторым образом модифицирует субстанцию нашего разума»; с другой же стороны, как транссубъективная или трансиентная реальность, когда понятие является «отражением процессов и отношений в противостоящем интеллекту внешнем мире» (См. [13], ч. 5).

Для Кантора оба вида реальности совпадают, вследствие единства содержащего нас самих всеобщего, и он полагает, что каждому понятию, реальному в первом смысле, присуща также и трансиентная реальность, установление которой составляет часто труднейшую задачу метафизики. Характерное же преимущество математики он усматривает в том, что она «при разработке своего идейного материала должна принимать во внимание исключительно одну лишь имманентную реальность ее понятий, вовсе не будучи при том обязана подвергать их испытанию также в отношении их трансиентной реальности» [38] Возникает вопрос, сознательно или несознательно примыкает здесь Кантор к Г. Ганкелю, уже в 1867 г. в своей “Theorie der komplexen Zalensysteme” («Теории комплексных числовых систем»), указавшему в качестве предмета математики «интеллектуальные объекты», которым действительные объекты или их отношения могут но не обязаны соответствовать» . На этой характеристике, объясняющей, как ему кажется, «относительную легкость и беспрепятственность занятий математикой, он основывает свое предложение присвоить ее почетное наименование «свободной математики».

Кантор описывает здесь своеобразие и значение математики (и тем самым, можно было бы добавить, также теоретической логики) в чисто рациональном плане, определяя ее, коротко говоря, как ту науку, которая не содержит метафизики; это вовсе не значит, однако, что его отношение к математике было односторонним. Уже два первых тезиса его диссертации показывают, как высоко он ценил ее еще в юношеские годы в эстетическом и этическом отношении: “Eodem modo literis atque arte animos delectari posse” и “Jure Spinosza mathesi eam tribuit, ut hominibus norma et regula veri in omnibus rebus indagandi sit”

Вопреки той уверенности, с которой Кантор усматривал сущность математики в ее свободе, следует заметить, что эмоционально он отнюдь не был склонен признать непротиворечивость единственным критерием существования математических объектов. В самом деле, ведь он пришел к трансфинитным порядковым числам не «свободным путем работы [13], ч. 5, а в некотором смысле вынужденный к этому итерацией построения производных множеств, в частности, стремлением к созданию их общей символики. Точно так же, его чрезмерно резкое отрицание «бесконечно малых», без сомнения, объясняется ощущением преимущества трансфинитных чисел − выводимых из «данных» множеств [39] Ср. следующее место в работе “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede”: «Если бы первое (множество) не противостояло нам как объект, то чтó могло бы последнее (соответствующее кардинальное число) отражать в качестве абстрактного образа в нашем разуме?» − по сравнению с общими неархимедовыми системами величин.